Question

如圖，在△ABC中，BD=

1

2

BC，AE=

1

4

AC，若S_△ABF=20平方厘米，則陰影部分的面積是多少平方厘米？

Answer 1

考點：三角形面積與底的正比關(guān)系

專題：平面圖形的認識與計算

分析：如下圖：作PD平行AC，設(shè)△AEF面積=t，PD=

1

2

EC=

3

2

AE；PD：AE=3：2，△PDF：△AEF=9：4，△PDF=

9

4

t，△BPD=

1

4

△ECB，△ECB=3△ABE=3×（20+t），△BPD=

3

4

t+15，△ABC=（20+t）×4=4t+80，

1

2

△ABC=2t+40=20+

3

4

t+15+

9

4

t，由此求出t，進而求出陰影部分的面積．

解答： 解：作PD平行AC，設(shè)△AEF面積=t，PD=

1

2

EC=

3

2

AE
PD：AE=3：2，△PDF：△AEF=9：4，△PDF=

9

4

t
△BPD=

1

4

△ECB
△ECB=3△ABE=3×（20+t）
△BPD=

3

4

t+15
△ABC=（20+t）×4=4t+80

1

2

△ABC=2t+40=20+

3

4

t+15+

9

4

t
解得t=5，
陰影部分的面積=

1

4

（2t+40）-t
所以陰影部分的面積=7.5（平方厘米）

方法二：作PD平行AC；
可知PD是三角形BEC的中位線，所以PD=

1

2

EC
又因AE=

1

3

EC，
所以可得PD：AE=3：2，
根據(jù)沙漏原理可知，DF=1.5AE，
設(shè)三角形AEF的面積為x，則陰影面積為1.5x，
根據(jù)題意可知S_△ADE=

1

8

S_△ABC，
S_△ABE=

1

4

S_△ABC
所以S_△ABE=2S_△ADE，
可得方程x+20=（x+1.5x）×2，
解方程得x=5，
則陰影為1.5×5=7.5
答：陰影部分的面積是7.5平方厘米．

點評：關(guān)鍵是關(guān)鍵題意正確作出輔助線，再根據(jù)三角形的面積與底之間的關(guān)系解決問題．