Question

17．從1，2，3，…，n中，任取57個數(shù)，使這57個數(shù)必有兩個數(shù)的差為13，則n的最大值為108．

Answer 1

分析 被13除的同余序列當(dāng)中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、66…，中只要取到兩個相鄰的，這兩個數(shù)的差為13，如果沒有兩個相鄰的數(shù)，則沒有兩個數(shù)的差為13，不同的同余序列當(dāng)中不可能有兩個數(shù)的差為13，對于任意一條長度為x的序列，都最多能取$x-[{\frac{x}{2}}]$個數(shù)，即從第1個數(shù)起隔1個取1個
基于以上，n個數(shù)分成13個序列，每條序列的長度為$[{\frac{n}{13}}]$或$[{\frac{n}{13}}]+1$，兩個長度差為1的序列，能夠被取得的數(shù)的個數(shù)也不會超過1，所以能使57個數(shù)任意兩個數(shù)都不等于13，則這57個數(shù)被分配在13條序列中，當(dāng)n取最小值時在每條序列被分配的數(shù)的個數(shù)差不會超過1，那么13個序列有8個分配了4個數(shù)，5個分配了5個數(shù)，這13個序列8個長度為8，5個長度為9，那么n=8×8+9×5=109，所以要使57個數(shù)必有兩個數(shù)的差為13，那么n的最大值為108．

解答 解：基于以上分析，n個數(shù)分成13個序列，每條序列的長度為$[{\frac{n}{13}}]$或$[{\frac{n}{13}}]+1$，兩個長度差為1的序列，能夠被取得的數(shù)的個數(shù)也不會超過1，所以能使57個數(shù)任意兩個數(shù)都不等于13，則這57個數(shù)被分配在13條序列中，當(dāng)n取最小值時在每條序列被分配的數(shù)的個數(shù)差不會超過1，那么13個序列有8個分配了4個數(shù)，5個分配了5個數(shù)，這13個序列8個長度為8，5個長度為9，那么n=8×8+9×5=109，所以要使57個數(shù)必有兩個數(shù)的差為13，那么n的最大值為108．
故答案為：108．

點評 差一定的情況下，我們就可以用一個數(shù)來確定另一個數(shù)，只要一個數(shù)大另一個隨之大，只要一個小另一個隨之�。�