【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),且離心率為.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),不經(jīng)過(guò)的直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn),如果直線、的斜率依次成等差數(shù)列,求焦點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.

【答案】1.2.

【解析】試題分析:(1)由已知條件算出的值,得出橢圓C的方程;(2)設(shè), ,直線的方程為,代入橢圓方程中,消去,由韋達(dá)定理求出的值,利用直線、的斜率依次成等差數(shù)列,得到,從而,即,化簡(jiǎn)得,由點(diǎn)到直線的距離,求出的表達(dá)式,通過(guò)借助函數(shù)的單調(diào)性,求出的范圍。

試題解析(1)由題意,知考慮到,解得

所以,所求橢圓C的方程為.

(2)設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程,

整理得.

,得.

設(shè), ,則, .

因?yàn)?/span>,所以 .

因?yàn)?/span>,且, ,

所以.

因?yàn)橹本AB 不過(guò)焦點(diǎn),所以,

所以,從而,即.

由①②得,化簡(jiǎn)得.

焦點(diǎn)到直線 的距離.

,由.

于是.

考慮到函數(shù)上單調(diào)遞減,

所以,解得.

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