【題目】如圖,在以為頂點(diǎn)的多面體中,四邊形是菱形, , .

(1)求證: 平面

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2) .

【解析】試題分析:(1)利用菱形的性質(zhì),根據(jù)勾股定理可得,結(jié)合條件,由線面垂直的判定定理可得平面;(2)分別以軸,以軸,連結(jié)中點(diǎn)作為軸建立坐標(biāo)系,分別根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面與平面的一個(gè)法向量,根據(jù)空間向量夾角余弦公式,可得結(jié)果.

試題解析:(1)證明:連結(jié)

四邊形是菱形,

中,

滿足

平面

(2)分別以軸,以軸,連結(jié)中點(diǎn)作為

,得,

的中點(diǎn),則

的法向量為:

設(shè)面的一個(gè)法向量為:

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角,屬于難題. 空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

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