Question

16．證明：比4個連續(xù)正整數(shù)的乘積大1的數(shù)一定是某整數(shù)的平方．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，假設(shè)這四個連續(xù)的正整數(shù)分別是n、n+1、n+2、n+3，把這個四個數(shù)相乘后再加上1，即n（n+1）（n+2）（n+3）+1，然后n與n+3相乘，n+1與n+2相乘，可得=[n²+3n]×[n²+3n+2]+1，再把n²+3n看作一個整體，然后再相乘可得=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1，根據(jù)平方和公式，可得（n²+3n+1）²，（n²+3n+1）²是一個平方數(shù)，所以比4個連續(xù)正整數(shù)的乘積大1的數(shù)一定是某整數(shù)的平方，據(jù)此證明．

解答 解：假設(shè)這四個連續(xù)的正整數(shù)分別是n、n+1、n+2、n+3；
n（n+1）（n+2）（n+3）+1
=[n（n+3）]×[（n+1）（n+2）]+1
=[n²+3n]×[n²+3n+2]+1
=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1
=（n²+3n+1）²；
所以，比4個連續(xù)正整數(shù)的乘積大1的數(shù)一定是某整數(shù)的平方．

點評 本題關(guān)鍵是設(shè)出連續(xù)的4個正整數(shù)，再把代數(shù)式化成平方數(shù)的形式，然后再進(jìn)一步解答．