Question

把一張長方形紙對折再對折，然后在折疊著的角上剪一刀，紙的中間就剪出了一個洞（如圖所示）．
（1）填寫下面表格．想一想，對折的次數與剪出洞的個數有什么關系？

（2）如果對折了10次后，再在折疊著的角上剪一刀，那么這張紙上共剪出了多少個洞？

Answer 1

解：（1）根據題干分析可得：從對折2次開始，所得到的洞的個數分別為：1、2、4、8、16、…，這個數列也可以寫成1、2¹、2²、2³、…
由此可以得出對折的次數與得到的洞的個數之間的關系是：洞的個數=2^{對折次數-2}；
（2）對折10次后紙中間剪出洞的個數為：2⁸=256（個），
答：（1）對折的次數與得到的洞的個數之間的關系是：洞的個數=2^{對折次數-2}；（2）對折10次后紙中間剪出洞的個數為256個．
分析：
（1）經過動手操作，可以得出對折3次得出2個洞；對折4次，得出4個洞；對折5次，得出8個洞；對折6次，得出16個洞；由此可以得出從對折2次開始，所得到的洞的個數分別為：1、2、4、8、16、…，這個數列也可以寫成1、2¹、2²、2³、…由此即可解決問題；
（2）利用上面推出的結論，即可得出第10次對折后，得到的洞就有2⁸=256個．
點評：此題可以動手操作得出特例，然后推理得出共性．