【題目】若存在常數(shù),使得對定義域內(nèi)的任意,都有成立,則稱函數(shù)在其定義域 上是“利普希茲條件函數(shù)”.

(1)若函數(shù)是“利普希茲條件函數(shù)”,求常數(shù)的最小值;

(2)判斷函數(shù)是否是“利普希茲條件函數(shù)”,若是,請證明,若不是,請說明理由;

(3)若是周期為2的“利普希茲條件函數(shù)”,證明:對任意的實數(shù),都有

【答案】(1) ;(2)不是,理由見解析;(3)證明見解析.

【解析】試題分析:1不妨設(shè),則恒成立. ,從而可得結(jié)果;2,則,從而可得函數(shù)不是利普希茲條件函數(shù); 3)設(shè)的最大值為,最小值為,在一個周期,內(nèi),利用基本不等式的性質(zhì)可證明.

試題解析:(1)若函數(shù)f(x)=,(1≤x≤4)是“k﹣利普希茲條件函數(shù)”,則對于定義域[1,4]上任意兩個x1,x2(x1≠x2),均有|f(x1)﹣f(x2)|≤k|x1﹣x2|成立,

不妨設(shè)x1>x2,則k≥=恒成立.

∵1≤x2<x1≤4,∴,

k的最小值為

(2)f(x)=log2x的定義域為(0,+∞),

令x1=,x2=,則f()﹣f()=log2﹣log2=﹣1﹣(﹣2)=1,

而2|x1﹣x2|=,∴f(x1)﹣f(x2)>2|x1﹣x2|,

函數(shù)f(x)=log2x 不是“2﹣利普希茲條件函數(shù)”.

(3)設(shè)f(x)的最大值為M,最小值為m,在一個周期[0,2]內(nèi)f(a)=M,f(b)=m,

則|f(x1)﹣f(x2)|≤M﹣m=f(a)﹣f(b)≤|a﹣b|.

若|a﹣b|≤1,顯然有|f(x1)﹣f(x2)|≤|a﹣b|≤1.

若|a﹣b|>1,不妨設(shè)a>b,則0<b+2﹣a<1,

∴|f(x1)﹣f(x2)|≤M﹣m=f(a)﹣f(b+2)≤|a﹣b﹣2|<1.

綜上,|f(x1)﹣f(x2)|≤1.

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圖書種類

故事書

科技書

教輔書

連環(huán)畫

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