課本中，把長與寬之比為
2
的矩形紙片稱為標準紙．請思考解決下列問題：
（1）將一張標準紙ABCD（AB＜BC）對開，如圖1所示，所得的矩形紙片ABEF是標準紙．請給予證明．
（2）在一次綜合實踐課上，小明嘗試著將矩形紙片ABCD（AB＜BC）進行如下操作：
第一步：沿過A點的直線折疊，使B點落在AD邊上點F處，折痕為AE（如圖2甲）；
第二步：沿過D點的直線折疊，使C點落在AD邊上點N處，折痕為DG（如圖2乙），此時E點恰好落在AE邊上的點M處；
第三步：沿直線DM折疊（如圖2丙），此時點G恰好與N點重合．
請你探究：矩形紙片ABCD是否是一張標準紙？請說明理由．
（3）不難發(fā)現(xiàn)：將一張標準紙按如圖3一次又一次對開后，所得的矩形紙片都是標準紙．現(xiàn)有一張標準紙ABCD，AB=1，BC=
2
，問第5次對開后所得標準紙的周長是多少？探索直接寫出第2012次對開后所得標準紙的周長．
分析：（1）根據(jù)
AB
AF
=
AB
1
2
BC
=2
AB
BC
=
2
2
=
2
，得出矩形紙片ABEF也是標準紙．
（2）利用已知得出△ADG是等腰直角三角形，得出
AD
AB
=
2
a
a
=
2
，即可得出答案．
（3）分別求出每一次對折后的周長，進而得出變化規(guī)律求出即可．
解答：解：（1）是標準紙，理由如下：
因為矩形ABCD是標準紙，
所以
BC
AB
=
2
，
由對開的含義知：AF=
1
2
BC，
所以據(jù)
AB
AF
=
AB
1
2
BC
=2
AB
BC
=
2
2
=
2
，
所以矩形紙片ABEF也是標準紙．
（2）是標準紙，理由如下：
設AB=CD=a，由圖形折疊可知：DN=CD=DG=a，
DG⊥EM，
因為由圖形折疊可知：△ABE≌△AFE，
所以∠DAE=
1
2
∠BAD=45°，
所以△ADG是等腰直角三角形，
所以在Rt△ADG中，AD=
AG2+DG2
=
2
a，
所以
AD
AB
=
2
a
a
=
2
，
所以矩形紙片ABCD是一張標準紙．
（3）對開次數(shù)：
第一次，周長為：2（1+
1
2
2
）=2+
2
，
第二次，周長為：2（
1
2
+
1
2
2
）=1+
2
，
第三次，周長為：2（
1
2
+
1
4
2
）=1+
2
2
，
第四次，周長為：2（
1
4
+
1
4
2
）=
1+
2
2
，
第五次，周長為：2（
1
4
+
1
8
2
）=
2+
2
4
，
第六次，周長為：2（
1
8
+
1
8
2
）=
1+
2
4
，
…
所以第5次對開后所得標準紙的周長是：
2+
2
4
，
第2012次對開后所得標準紙的周長為：
1+
2
21005
．
點評：此題主要考查了翻折變換性質以及規(guī)律性問題應用，根據(jù)已知得出對開后所得標準紙的周長變化規(guī)律是解題關鍵．
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