Question

【題目】分母是385的最簡真分數有多少個，并求這些真分數的和．

Answer 1

【答案】240個，120

【解析】

試題分析：解答此題要先把385分解質因數，計算出分母是385的不是最簡真分數（分子是質因數的倍數的均不是最簡真分數）的個數，即用質因數分別除385算出個數，減去重復的即為真分數的個數，每對真分數是成對出現的和為1，除以2即為和．

解：因為385=5×7×11，在1～385這385個自然數中，

5的倍數有（個），7的倍數有（個），11的倍數有（個），5×7=35的倍數有（個），5×11=55的倍數有（個），7×11=77的倍數有=5（個），385的倍數有1個．

由容斥原理知，在1～385中能被5、7或11整除的數有77+55+35﹣（11+7+5）+1=145（個），而5、7、11互質的數有385﹣145=240（個）．即分母為385的真分數有240個．

如果有一個真分數為，則必還有另一個真分數，即以385為分母的最簡真分數是成對出現的，而每一對之和恰為1．故以385為分母的240最簡分數可以分成120時，它們的和為1×120=120．