Question

97個連續(xù)自然數的和是a×b×c，若a，b，c都是不同的質數，則a+b+c最小值應是多少？

Answer 1

考點：最大與最小

專題：傳統(tǒng)應用題專題

分析：因為（98+1）÷2=49，所以設中間一個數是x≥49，則abc=97x，因為97是質數，則可以令a=97，那么bc=x，然后根據x=49=7×7，不符合a，b，c都是不同的質數這一條件，所以舍去；由此可得：a和b一定是一個大于7的質數，一個是小于7的質數，且比較接近49，這樣才能保證a+b的和有最小值，然后試算即可得出答案．

解答： 解：因為是97個連續(xù)自然數的和，所以中間的數不小于：（98+1）÷2=49，
所以設中間一個數是x≥49，
則abc=97x，因為97是質數，則可以令a=97，
那么bc=x，
當x=49=7×7，b=7，c=7，不符合a，b，c都是不同的質數這一條件，所以舍去；
由此可得：a和b一定是一個大于7的質數，一個是小于7的質數，且bc=x≥49，
2×29最小，此時c+b=31，
3×17最小，此時c+b=20，
5×11最小，此時c+b=16，
13×5最小，此時c+b=18，
質因數17之后的不需考慮，因為前面最小的和是16，
所以，a+b+c最小值應是=97+16=113．
答：a+b+c最小值應是113．

點評：本題考查了極值問題，關鍵是根據等差數列確定出中間值的取值范圍，然后根據較小的幾個質數確定b、c兩個質數的和的最小值．