Question

一個(gè)自然數(shù)有15個(gè)因數(shù)，它乘以2006后至少可能有多少個(gè)因數(shù)？最多可能有多少個(gè)因數(shù)？

Answer 1

考點(diǎn)：約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理

專題：整除性問題

分析：首先把2006分解質(zhì)因數(shù)，可得2006=2×17×59，然后判斷出什么情況下該自然數(shù)乘以2006后的因數(shù)最少、最多：（1）如果該自然數(shù)的15個(gè)因數(shù)相同，則該自然數(shù)乘以2006后的互質(zhì)數(shù)為16個(gè)2，1個(gè)17，1個(gè)59，此時(shí)該自然數(shù)乘以2006后因數(shù)的個(gè)數(shù)最少；（2）如果該自然數(shù)的15個(gè)因數(shù)互質(zhì)，則該自然數(shù)乘以2006后最多互質(zhì)的因數(shù)個(gè)數(shù)為18個(gè)，此時(shí)它乘以2006后因數(shù)的個(gè)數(shù)最多，據(jù)此解答即可．

解答： 解：把2006分解質(zhì)因數(shù)，可得2006=2×17×59，
（1）如果該自然數(shù)的15個(gè)因數(shù)相同，
則該自然數(shù)乘以2006后的互質(zhì)數(shù)為16個(gè)2，1個(gè)17，1個(gè)59，
此時(shí)它乘以2006后因數(shù)的個(gè)數(shù)最少，
①2，4，8，…，2¹⁶，一共16個(gè)；
②2×17，4×17，8×17，…，2¹⁶×17，一共16個(gè)；
③2×59，4×59，8×59，…，2¹⁶×59，一共16個(gè)；
④2×17×59，4×17×59，8×17×59，…，2¹⁶×17×59，一共16個(gè)；
所以它乘以2006后至少可能有因數(shù)的個(gè)數(shù)是：
16×4=64（個(gè)）．

（2）如果自然數(shù)的15個(gè)因數(shù)互質(zhì)，
則該自然數(shù)乘以2006后最多互質(zhì)的因數(shù)個(gè)數(shù)為：15+3=18（個(gè)），
此時(shí)它乘以2006后因數(shù)的個(gè)數(shù)最多，最多為：
2¹⁸-1=262144-1=262143（個(gè)）．

綜上，可得它乘以2006后至少可能有64個(gè)因數(shù)，最多可能有262143個(gè)因數(shù)．
答：它乘以2006后至少可能有64個(gè)因數(shù)，最多可能有262143個(gè)因數(shù)．

點(diǎn)評：此題主要考查了約數(shù)個(gè)數(shù)問題的應(yīng)用，考查了分類討論思想的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是判斷出什么情況下該自然數(shù)乘以2006后的因數(shù)最少、最多．