Question

16．計算：
（1）$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4}$+$\frac{7}{8}$+$\frac{15}{16}$+$\frac{31}{32}$+$\frac{63}{64}$$+\frac{127}{128}$+$\frac{255}{256}$
（2）$\frac{（{2}^{2}+{4}^{2}+{6}^{2}+…+10{0}^{2}）-（{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+…+9{9}^{2}）}{1+2+3+…+9+10+9+8+…+1}$．

Answer 1

分析 （1）先變形為8-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{32}$+$\frac{1}{64}$+$\frac{1}{128}$+$\frac{1}{256}$），進一步根據(jù)$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$變形為8-（1-$\frac{1}{256}$），從而求解；
（2）根據(jù)1²+2²+3²+…+n²=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1），再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算，再約分計算即可求解．

解答 解：（1）$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4}$+$\frac{7}{8}$+$\frac{15}{16}$+$\frac{31}{32}$+$\frac{63}{64}$$+\frac{127}{128}$+$\frac{255}{256}$
=8-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{32}$+$\frac{1}{64}$+$\frac{1}{128}$+$\frac{1}{256}$）
=8-（1-$\frac{1}{256}$）
=8-1+$\frac{1}{256}$
=7$\frac{1}{256}$

（2）$\frac{（{2}^{2}+{4}^{2}+{6}^{2}+…+10{0}^{2}）-（{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+…+9{9}^{2}）}{1+2+3+…+9+10+9+8+…+1}$
=$\frac{4×\frac{1}{6}×50×（50+1）×（50×2+1）-\frac{1}{6}×100×（100+1）×（100×2+1）}{\frac{1}{2}×（1+9）×9×2+10}$
=$\frac{4×\frac{1}{6}×50×51×101-\frac{1}{6}×100×101×201}{100}$
=$\frac{\frac{1}{6}×100×102×101-\frac{1}{6}×100×101×201}{100}$
=$\frac{1}{6}$×101×（102-201）
=-1666.5

點評 分數(shù)巧算就是熟能生巧的過程，綜合運用乘法分配律，分數(shù)化小數(shù)，小數(shù)化分數(shù)以及帶分數(shù)化假分數(shù)、帶分數(shù)拆分等方法達到巧算的目的．