Question

20．如圖，現(xiàn)在一塊四邊形紙板ABCD，點P₁P₂三等分邊AD，點R₁R₂三等分邊BC，請?zhí)骄克倪呅蜳₁R₁R₂P₂的面積與四邊形ABCD的面積之間的關(guān)系，并加以說明．

Answer 1

分析
連結(jié)AC交線段P₁R₁與點M，交線段P₂R₂與點N，因為點P₁P₂三等分邊AD，點R₁R₂三等分邊BC，所以P₁M∥P₂N∥DC，所以：AM：AC=1：3，AN：AC=2：3；
所以三角形AP₁M的面積=（$\frac{1}{3}$）²×三角形ADC，三角形ANP₂的面積=（$\frac{2}{3}$）²×三角形ADC的面積，則：
四邊形P₁MNP₂的面積=三角形ANP₂的面積-三角形AP₁M的面積=$\frac{3}{9}$×三角形ADC的面積，同理可得：
四邊形MR₁R₂N的面積=$\frac{3}{9}$×三角形ABC的面積，所以四邊形P₁R₁R₂P₂的面積=四邊形P₁MNP₂的面積+四邊形MR₁R₂N的面積=$\frac{3}{9}$×（三角形ADC的面積+三角形ABC的面積）=$\frac{1}{3}$×四邊形ABCD的面積，據(jù)此解答即可．

解答 解：如圖：

連結(jié)AC交線段P₁R₁與點M，交線段P₂R₂與點N
因為點P₁P₂三等分邊AD，點R₁R₂三等分邊BC
所以：
P₁M∥P₂N∥DC且AM：AC=1：3，AN：AC=2：3；
所以：
三角形AP₁M的面積=（$\frac{1}{3}$）²×三角形ADC
三角形ANP₂的面積=（$\frac{2}{3}$）²×三角形ADC的面積
四邊形P₁MNP₂的面積=三角形ANP₂的面積-三角形AP₁M的面積
=$\frac{3}{9}$×三角形ADC的面積
同理可得：
四邊形MR₁R₂N的面積=$\frac{3}{9}$×三角形ABC的面積
所以：
四邊形P₁R₁R₂P₂的面積=四邊形P₁MNP₂的面積+四邊形MR₁R₂N的面積
=$\frac{3}{9}$×（三角形ADC的面積+三角形ABC的面積）
=$\frac{1}{3}$×四邊形ABCD的面積
答：四邊形P₁R₁R₂P₂的面積等于四邊形ABCD面積的$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查相似三角形面積的比等于相似比的平方．