Question

有一串分?jǐn)?shù)，

1

1

，

1

2

，

2

2

，

1

2

，

1

3

，

2

3

，

3

3

，

2

3

，

1

3

，

1

4

，

2

4

，

3

4

，

4

4

…請(qǐng)問

7

10

是第幾個(gè)分?jǐn)?shù)？第400個(gè)分?jǐn)?shù)是幾分之幾？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)字串問題

專題：探索數(shù)的規(guī)律

分析：（1）分母是1的分?jǐn)?shù)有1個(gè)，分子是1；
分母是2的分?jǐn)?shù)有3個(gè)，分子是1，2，1；
分母是3的分?jǐn)?shù)有5個(gè)，分子是1，2，3，2，1；
分母是4的分?jǐn)?shù)有7個(gè)；分子是1，2，3，4，3，2，1．
分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)分別是1，3，5，7…，當(dāng)分母是n時(shí)有2n-1個(gè)分?jǐn)?shù)；由此求出從分母是1的分?jǐn)?shù)到分母是10的分?jǐn)?shù)一共有多少個(gè)；
分子是自然數(shù)，先從1增加，到分母相同時(shí)再減少到1；因此

7

10

在這個(gè)數(shù)列中應(yīng)該有2個(gè)，求出第一個(gè)

7

10

是第幾個(gè)即可；
（2）分母是1的分?jǐn)?shù)有1個(gè)，分子是1；
分母是2的分?jǐn)?shù)有3個(gè)，分子是1，2，1；
分母是3的分?jǐn)?shù)有4個(gè)，分子是1，2，3，1；
分母是4的分?jǐn)?shù)有5個(gè)；分子是1，2，3，4，1；
…
分母是n的分?jǐn)?shù)有n+1個(gè)（n＞1），由此規(guī)律進(jìn)一步探究答案即可．

解答： 解：（1）分母是7的分?jǐn)?shù)一共有；
2×7-1=13（個(gè)）；
從分母是1的分?jǐn)?shù)到分母是10的分?jǐn)?shù)一共：
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
=（1+19）×10÷2
=200÷2
=100（個(gè)）；
那么從第100個(gè)分?jǐn)?shù)開始依次是：

1

10

，

2

10

，

3

10

，

4

10

，

5

10

，

6

10

，

7

10

；所以第一個(gè)

7

10

是第107個(gè)分?jǐn)?shù)．
答：第一次出現(xiàn)的

7

10

是第107個(gè)分?jǐn)?shù)．

（2）分母是3的分?jǐn)?shù)有4個(gè)，分子是1，2，3，1；
分母是4的分?jǐn)?shù)有5個(gè)；分子是1，2，3，4，1；
…
分母是n的分?jǐn)?shù)有n+1個(gè)（n＞1）．
共有1+3+4+5+…+（n+1）=（n+1）×（n+2）÷2-2，
因?yàn)椋?6+1）×（26+2）÷2-2=376，
（27+1）×（27+2）-2=404，
第404個(gè)分?jǐn)?shù)是

1

27

，向前推為第403個(gè)分?jǐn)?shù)是

27

27

，第402個(gè)分?jǐn)?shù)是

26

27

，第401個(gè)分?jǐn)?shù)是

25

27

，第400個(gè)分?jǐn)?shù)是

24

27

．
所以這串?dāng)?shù)的第400個(gè)數(shù)是

24

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題需要找出分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)與分母之間的規(guī)律，還要找出分子的變化規(guī)律．