Question

線段AB上有1998個點（包括A，B兩點），將點A染成紅色，點B染成藍色，其余各點染成紅色或藍色．這時，圖中共有1997條互不重疊的線段．問：兩個端點顏色相異的小線段的條數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？

Answer 1

分析：從最簡單的情況考慮：如果中間的1996個點全部染成紅色，這時異色線段只有1條，是一個奇數(shù)，然后我們對這種染色方式進行調(diào)整：將某些紅點改成藍點并注意到顏色調(diào)整時，異色線段的條數(shù)隨之有哪些變化，由于顏色的調(diào)整使任意的，因此與條件中染色的任意性就一致了．

解答：解：從最簡單的情況考慮：如果中間的1996個點全部染成紅色，這時異色線段只有1條，是一個奇數(shù)；
將任意一個紅點染成藍點，這個改變顏色的點的左右兩側(cè)相鄰的兩個點若是同色，則異色小線段的條數(shù)或者增加2條（相鄰的兩個點同為紅色），或者減少2條（相鄰的兩點同為藍色）；這個改變顏色的點的左右兩側(cè)相鄰的兩個點若是異色，則異色小線段的條數(shù)不變；
綜上所述，改變?nèi)我恻c的顏色，異色線段的條數(shù)的改變總是一個偶數(shù)，從而異色線段的條數(shù)是一個奇數(shù)．

點評：本題是操作推理問題，關鍵是利用“假設法”確定改變一個的顏色分兩種情況討論異色小線段的條數(shù)的變化．