Question

4．小學數(shù)學的簡便計算中，分數(shù)簡便運算是最復雜的一種，除了使用整、小數(shù)的一些常用技巧以外，還有利用裂項法（即將一個分數(shù)分成兩個或幾個分數(shù)的差或積，使部分分數(shù)互相抵消，從而達到簡便運算的方法）找對應分數(shù)等重要方法．（1）觀察下面的算式：
$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{12}$；$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$=$\frac{1}{110}$；
$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{12}$；$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{110}$．
（2）比較上下兩行算式的結果，你發(fā)現(xiàn)了什么？
（3）根據(jù)你的方向計算下面各題．
①$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{10×11}$；
②$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$．

Answer 1

分析 通過觀察，發(fā)現(xiàn)將一個分數(shù)分成兩個或幾個分數(shù)的差或積，使部分分數(shù)互相抵消，從而達到簡便運算的方法，運用這種方法，解決問題．

解答 解：（1）$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{12}$；$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$=$\frac{1}{110}$；
$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{12}$；$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{110}$．

（2）發(fā)現(xiàn)：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$，
即分子為1，分母為兩個連續(xù)自然數(shù)的乘積的分數(shù)可拆為兩個分數(shù)相減的形式．

（3）①$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{10×11}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$
=1-$\frac{1}{11}$
=$\frac{10}{11}$

②$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$++$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$
=1-$\frac{1}{7}$
=$\frac{6}{7}$
故答案為：$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{110}$，$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{110}$．

點評 此題中的分數(shù)形如$\frac{1}{n（n+1）}$，可拆分為$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．運用它可進行分數(shù)的拆分，使計算簡便．