Question

在平面內(nèi)，旋轉(zhuǎn)變換試指某一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)按順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度而得到新位置圖形的一種變換．

活動(dòng)一：如圖①，在Rt△ABC中，D為斜邊AB上的一點(diǎn)，AD=2，BD=1，且四邊形DECF是正方形，在求陰影部分面積時(shí)，小明運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)的方法，將△DBF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DGE（如圖②所示），小明一眼就看到答案，請(qǐng)你寫出陰影部分的面積______．
活動(dòng)二：如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC=5，CD=3，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，小明仍運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)的方法，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADG（如圖④所示），則：
（1）四邊形AECG是怎樣的特殊四邊形？答：______；
（2）AE的長(zhǎng)是______．
活動(dòng)三：如圖⑤，在四邊形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，將BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，連接AE．若AB=2，DC=4，求△ABE的面積．

Answer 1

解：活動(dòng)一：
因?yàn)樗倪呅蜠ECF是正方形，
所以DE=DF=x，DE∥BC，DF∥AC，
所以=，=，
因?yàn)锳D=2，BD=1，
所以AC=3x，BC=x，
因?yàn)锳C²+BC²=AB²，
所以9x²+（x）²=9，
解得：x=，
所以DE=DF=，AE=，BF=，
所以S_△ADE+S_△BDF=1，
所以S_陰影=1；
故答案為：1；

活動(dòng)二：根據(jù)題意得：∠EAG=90°，
因?yàn)锳E⊥BC，
所以∠AEB=∠AEC=∠G=90°，
所以四邊形AECG是矩形，
因?yàn)锳E=AG，
所以四邊形AECG是正方形，
因?yàn)锽C=5，CD=3，
所以設(shè)AE=x，則BE=GD=CG-CD=x-3，
BE=BC-EC=5-x，
所以x-3=5-x，
解得：x=4，
所以AE=4．
故答案為：正方形；4．

活動(dòng)三：過點(diǎn)B作BG⊥DC于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EF⊥AB與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．
因?yàn)椤螧AD=∠D=∠DGB=90°，
所以四邊形ABGD是矩形，
所以DG=AB=2，
所以CG=DC-DG=4-2=2．
因?yàn)椤螩BG+∠CBF=90°，∠EBF+∠CBF=90°，
所以∠CBG=∠EBF．
在△BCG與△BEF中，∠CBG=∠EBF，∠CGB=∠EFB=90°，BC=BE，
所以△BCG≌△BEF，
所以CG=EF=2．
所以S_△ABE=AB?EF=2．
分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△DBF≌△DGE，則DG=BD=1，那么陰影部分的面積=Rt△ADG的面積=×AD×DG；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△ABE≌△ADG，得出∠AEB=∠G=90°，BE=DG，AE=AD．在四邊形AECD中，有∠AEC=∠C=∠G=90°，則四邊形AECD是矩形，又AE=AD，則矩形AECD是正方形；設(shè)BE=x，則DG=x，EC=CG=DG+CD=x+3，BC=BE+EC=x+x+3=5，求出x，進(jìn)而得出AE的長(zhǎng)；
（3）過點(diǎn)B作BG⊥DC于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EF⊥AB與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，通過證明△BCG≌△BEF，從而得出S_△ABE的值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換及其性質(zhì)．在解題中進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換的目的在于通過旋轉(zhuǎn)變換可以使圖形發(fā)生重組，使分散的條件得以集中，然后運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的“不變性”可以使一些問題迎刃而解．一般來說，當(dāng)圖形中有“共點(diǎn)等邊”的圖形時(shí)，常進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換．