【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率為,它的一個(gè)焦點(diǎn)恰好與拋物線的焦點(diǎn)重合.

求橢圓的方程;

設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為,過點(diǎn)作橢圓的兩條動(dòng)弦,若直線斜率之積為,直線是否一定經(jīng)過一定點(diǎn)?若經(jīng)過,求出該定點(diǎn)坐標(biāo);若不經(jīng)過,請(qǐng)說明理由.

【答案】1;(2)恒過一定點(diǎn).

【解析】試題分析:(1)可設(shè)橢圓方程為,因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)恰好與拋物線的焦點(diǎn)重合,所以,又,所以,又因,得,所以橢圓方程為;

2)由(1)知,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),可設(shè),設(shè),則,

易得,不合題意;故直線的斜率存在.設(shè)直線的方程為:,(),并代入橢圓方程,得:,設(shè),則是方程的兩根,由韋達(dá)定理,由,利用韋達(dá)定理代入整理得,又因?yàn)?/span>,所以,此時(shí)直線的方程為,即可得出直線的定點(diǎn)坐標(biāo).

1)由題意可設(shè)橢圓方程為,

因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)恰好與拋物線的焦點(diǎn)重合,所以,

,所以,

又因,得,

所以橢圓方程為;

2)由(1)知,

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè),設(shè),則,

,不合題意.

故直線的斜率存在.設(shè)直線的方程為:,(),并代入橢圓方程,得:

設(shè),則是方程的兩根,由韋達(dá)定理

,

得:

,

,整理得

,

又因?yàn)?/span>,所以,此時(shí)直線的方程為.

所以直線恒過一定點(diǎn)

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