Question

【題目】已知函數(shù).

(1)若，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

(2)討論的單調(diào)性；

(3)若函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2) 當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（3）

【解析】試題分析：(1) 求得,求出的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出的值，可得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)分時(shí)， 時(shí)兩種情況討論，求出，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（3）時(shí)， 時(shí)， 時(shí)，分別求出，令即可得到的取值范圍.

試題解析：(1) 時(shí)， ，

∴，故切點(diǎn)為.

又，∴，

故切線方程為，即.

(2) ，

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，令得， (舍)，

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上所述：當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（3）由(2)知：當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減， ，

此時(shí)在上無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，解得.

∴，此時(shí)在上無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增， ，無(wú)解.

綜上所述， .

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn) 出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.