Question

如圖中，ABCD是梯形，面積是1，已知

DF

FC

=

3

4

，

AE

EB

=

1

5

，

DC

AB

=

c

d

．問(wèn)：

（1）三角形ECD的面積是多少？
（2）四邊形EHFG的面積是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：三角形面積與底的正比關(guān)系

專題：平面圖形的認(rèn)識(shí)與計(jì)算

分析：（1）設(shè)出梯形的高為h，即三角形的高，再利用梯形的面積公式和給出的梯形的面積，求出三角形的面積；
（2）過(guò)G作ZQ⊥AB與Q，交CD延長(zhǎng)線與Z，過(guò)H作MN⊥AB與N，交DC與M，因?yàn)锳B∥DC，所以QZ⊥DC，MN⊥DC，所以ZQ=MN=h，再利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比，分別求出積S_△DEC、S_△DGF、S_△FHC的面積，進(jìn)而求出四邊形EHFG的面積．

解答： 解：（1）設(shè)梯形ABCD的AB和CD之間的高是h，
則

DC

AB

=

c

d

所以AB=

d

c

DC
因?yàn)樘菪蜛BCD的面積是1，
所以

1

2

（AB+CD）×h=1，

1

2

×（

d

c

DC+DC）×h=1，
所以DC×h=

2c

c+d

所以S_△ECD=

1

2

×DC×h=

1

2

×

2c

c+d

=

c

c+d

；
答：三角形ECD的面積是

c

c+d

．

（2）過(guò)G作ZQ⊥AB與Q，交CD延長(zhǎng)線與Z，過(guò)H作MN⊥AB與N，交DC與M，
因?yàn)锳B∥DC，
所以QZ⊥DC，MN⊥DC，
所以ZQ=MN=h，
因?yàn)?span id="lrpdd8a" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

DF

CF

=

3

4

，

AE

BE

=

1

5

，AB=

d

c

DC，
所以DF=

3

7

DC，CF=

4

7

DC，
AE=

1

6

AB=

1

6

×

d

c

DC，BE=

5

6

×

d

c

DC=

5d

6c

DC，
因?yàn)镈C∥AB，
所以△DGF∽△EGA，
所以

DF

AE

=

GZ

GQ

=

3DC 7

dDC 6

=

18c

7d

，
因?yàn)镚Z+GQ=ZQ=h，
所以GZ=

18c

7d+18c

h，
所以S_△DGF=

1

2

×DF×GZ=

1

2

×

3

7

DC×

18c

7d+18c

CDh=

27c

7(18c+7d)

×

2c

c+d

=

54c2

7(18c+7d)(c+d)

同理：

CF

BE

=

HM

HN

=

4CD 7

5AB 6

=

4CD 7

5 6 × dCD c

=

24c

35d

，
所以HM=

24c

35d+24c

h，
所以S_△FHC=

1

2

×CF×HM=

1

2

×

4

7

CD×

24c

35d+24c

h=

48c

7(35d+24c)

×CDh=

48c

7(35d+24c)

×

2c

c+d

=

96c2

7(35d+24c)(c+d)

所以四邊形EHFG的面積=S_△DEC-S_△DGF-S_△FHC=

c

c+d

-

54c2

7(18c+7d)(c+d)

-

96c2

7(35d+24c)(c+d)

=

3024c2d+1715d2c

7(18c+7d)(35d+24c)(c+d)

．
答：四邊形EHFG的面積是

3024c2d+1715d2c

7(18c+7d)(35d+24c)(c+d)

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形和梯形的面積公式即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等．