Question

【題目】有15位同學(xué),每位同學(xué)都有編號,它們是1號到15號.1號同學(xué)寫了一個(gè)自然數(shù),2號說:“這個(gè)數(shù)能被2整除”,3號說:“這個(gè)數(shù)能被3整除”,……,依次下去.每位同學(xué)都說,這個(gè)數(shù)能被他的編號數(shù)整除.1號作了一一驗(yàn)證,只有編號連續(xù)的兩位同學(xué)說得不對,其余同學(xué)都對,如果告訴你,1號寫的數(shù)是六位數(shù),那么這個(gè)數(shù)至少是多少?

Answer 1

【答案】300300

【解析】

首先可以斷定編號是2,3,4,5,6,7號的同學(xué)說的一定都對.不然,其中說得不對的編號乘以2后所得編號也將說得不對,這樣就與“只有編號連續(xù)的兩位同學(xué)說得不對”不符合.因此,這個(gè)數(shù)能被2,3,4,5,6,7都整除.

其次利用整除性質(zhì)可知,這個(gè)數(shù)也能被2×5,3×4,2×7都整除,即編號為10,12,14的同學(xué)說得也對.從而可以斷定編號11,13,15的同學(xué)說得也對,不然,說得不對的編號不是連續(xù)的兩個(gè)自然數(shù).

現(xiàn)在我們可以斷定說得不對的兩個(gè)同學(xué)的編號只能是8和9.

這個(gè)數(shù)是2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15的公倍數(shù),由于上述十二個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是

[2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15]

=22×3×5×7×11×13

=60060

設(shè)1號寫的數(shù)為60060(為整數(shù)),這個(gè)數(shù)是六位數(shù),所以2.

若=2,則8|60060,不合題意,所以2.同理3,4.因?yàn)?/span>的最小值為5,這個(gè)數(shù)至少是60060×5=300300.