Question

【題目】已知圓C1：x2＋y2＝r2截直線(xiàn)x＋y－＝0所得的弦長(zhǎng)為.拋物線(xiàn)C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)在圓C1上.

(1)求拋物線(xiàn)C2的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)A(－1,0)的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C2交于B、C兩點(diǎn)，又分別過(guò)B、C兩點(diǎn)作拋物線(xiàn)C2的切線(xiàn)，當(dāng)兩條切線(xiàn)互相垂直時(shí)，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

【答案】(1)x2＝4y．(2)x－y＋1＝0．

【解析】試題分析：（1）由題意，圓心到直線(xiàn)的距離，結(jié)合弦長(zhǎng)求半徑，從而得到焦點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而寫(xiě)出拋物線(xiàn)的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)，直線(xiàn)方程與聯(lián)立方程化簡(jiǎn)得到，從而利用韋達(dá)定理得到，再由兩條切線(xiàn)互相垂直及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，從而解出，進(jìn)而寫(xiě)出直線(xiàn)的方程.

試題解析：(1)易求得圓心到直線(xiàn)的距離為，

所以半徑r＝＝1.∴圓C1：x2＋y2＝1.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)(0，)在圓x2＋y2＝1上，得p＝2，

所以x2＝4y．

(2)設(shè)所求直線(xiàn)的方程為y＝k(x＋1)，

B(x1，y1)，C(x2，y2)．

將直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程可得x2－4kx－4k＝0，

∴x1x2＝－4k．

因?yàn)閽佄锞�(xiàn)y＝，所以y′＝，

所以?xún)蓷l切線(xiàn)的斜率分別為、，

所以·＝－1＝，所以k＝1．

故所求直線(xiàn)方程為x－y＋1＝0．