592. 直線上有兩點(diǎn)到平面α的距離相等，這條直線和平面α的位置如何？

解析：(1)若直線上的兩點(diǎn)到平面α的距離都等于0，這時(shí)直線在平面α內(nèi)(如圖)

(2)若直線上的兩點(diǎn)在平面α的兩側(cè),且到平面α的距離相等,這時(shí)直線與平面α相交(如圖)．

(3)若直線l上的兩點(diǎn)在平面α的同一側(cè)，且到平面α的距離相等(如圖)．

∵AA₁⊥α于點(diǎn)A₁，BB₁⊥α于點(diǎn)B₁．又 A、B均在l上，且在α的同側(cè)．∴AA₁ BB₁

∴AA₁BB₁為一平行四邊形．∴AB∥A₁B₁ ∴這時(shí)直線l與平面α平行．

想一想：若直線l上各點(diǎn)到平面α的距離都相等，那么直線l和平面α的位置關(guān)系又怎樣？

591. 兩個(gè)惟一性定理．

(1)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和一已知平面垂直

(2)過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一已知直線垂直

過(guò)點(diǎn)A垂直于直線a的所有直線都在過(guò)點(diǎn)A，且垂直于直線a的平面內(nèi)，試證之．

已知：A∈α，a⊥α于點(diǎn)O，AB⊥a．求證：

證明：假AB不在平面α內(nèi)，連結(jié)AO．

∵a⊥α∴a⊥AO．又a⊥AB，且AO∩AB=A．

∴a垂直于相交直AO、AB所確定的平面β．

說(shuō)明：　關(guān)于直線和平面垂直的問(wèn)題中，有兩個(gè)基本作圖：

(1)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直．(2)過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直．

這兩個(gè)基本作圖可作為公理直接使用．

590. 空間四邊形ABCD中，P、Q、R分別AB、AD、CD 的中點(diǎn)，平面PQR交BC于S , 求證：四邊形PQRS為平行四邊形。

　證明：∵PQ為AB、AD中點(diǎn)　 ∴PQ‖BD

　又PQ平面BCD ，BD平面BCD　 　∴　 PQ‖平面BCD

　又平面PQR∩平面BCD＝RS , PQ平面RQR 　∴　 PQ‖RS

　∵R為DC中點(diǎn),∴ S為BC中點(diǎn),∴PQ　　 RS　 ∴ PQRS 為平行四邊形

評(píng)述:靈活運(yùn)用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理,“線線平行 線面平行”是證平行關(guān)系的常用方法。

變式題：如圖，在四面體ABCD中，截面EFGH是平行四邊形．求證：AB∥平面EFG．

證明　∵面EFGH是截面．∴點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在BC，BD，DA，AC上．∴EH 面ABC，GF 面ABD，由已知，EH∥GF．∴EH∥面ABD．又　 ∵EH 面BAC，面ABC∩面ABD=AB∴EH∥AB．

∴AB∥面EFG．

589. 已知直線a∥b，c∩a=A，c∩b=B。求證：a、b、c在同一平面內(nèi)。

證明：∵a∥b

　　　 ∴經(jīng)過(guò)a、b可確定一個(gè)平面α

　　　 ∵c∩a=A，∴A∈a，而aα

　　　 ∴A∈α，同理B∈α

　　　 則ABα，即c α

　　　 ∴a、b、c在同一平面α內(nèi)

點(diǎn)評(píng)：利用a∥b，可確定平面α，易證c α。若利用c∩a=A，也可確定平面α，但證bα就較困難。因此，選擇恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)或線確定平面是非常重要的。

588. 在四面體ABCD中，已知點(diǎn)M，N，P分別在棱AD，BD，CD上，點(diǎn)S在平面ABC內(nèi)，畫(huà)出線段SD與過(guò)點(diǎn)M，N，P的截面的交點(diǎn)O。

解析：圖中，SD與平面MNP的交點(diǎn)O點(diǎn)畫(huà)在△MNP內(nèi)的任何位置好象都“象”，即直觀上不能直接看出畫(huà)在何處才是準(zhǔn)確的。采用上一題的思想方法，找出經(jīng)過(guò)直線SD的平面，如平面ASD(平面CSD…)，作出它與平面MNP的交線。

解：連接AS交BC于E，連ED交NP于F，連MF。

∵M(jìn)∈AD，AD平面AED，

∴M∈平面AED

∵F∈ED，ED平面AED，

∴F∈平面AED

又M∈平面MNP，F(xiàn)∈平面MNP，

∴平面AED∩平面MNP=MF

∵O∈SD，SD平面AED，

∴O∈平面AED，又O∈平面MNP

則O∈MF

即O為MF與SD的交點(diǎn)。

587. 四面體ABCD中，AB=CD，AC=BD，AD=BC，則∠BAC+∠CAD+∠DAB=　　　　　 。

解析：180°

四個(gè)三角形均是全等的三角形，故所求三個(gè)角即其中任一三角形的三個(gè)內(nèi)角

586. 正方體的12條面對(duì)角線所在的直線中，互相異面的直線共有　　　 對(duì)。

解析：30

面對(duì)角線中，與AC相交的有5條，平行的有1條，(自身為1條)故與AC異面的直線有12-5-1-1=5(條)。

則共有12×5×=30(對(duì)

585. 空間兩個(gè)角α和β，若α和β的兩邊對(duì)應(yīng)平行，當(dāng)α=50°時(shí)，β=　　　　　　 。

解析：50°或130°

β與α相等或互補(bǔ)

584. 下面的三個(gè)命題：①四邊相等的四邊形是菱形；②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③若四邊形有一組對(duì)角都是直角，則這個(gè)四邊形是圓的內(nèi)接四邊形。

其中正確命題的個(gè)數(shù)是：(　　 )

　 A、1個(gè)　　　　　　 B、2個(gè)　　　　　 C、3個(gè)　　　　　 D、0個(gè)

解析：D

均不能保證它們是平面圖形，故均不正確，選D

583. 如圖，α∩β=C，aα，a∩c=A，bβ，b∩c=B，A、B為不同點(diǎn)。則a與b的位置關(guān)系為(　　 )

　 A、平行

　 B、異面

　 C、平行、異面均可能

　 D、平行、相交、異面均可能

解析：B

符合兩條異面直線的判定，選B