4．解題途徑：

當物體在兩個共點力作用下平衡時，這兩個力一定等值反向；當物體在三個共點力作用下平衡時，往往采用平行四邊形定則或三角形定則；當物體在四個或四個以上共點力作用下平衡時，往往采用正交分解法。

[例13]重G的光滑小球靜止在固定斜面和豎直擋板之間。若擋板逆時針緩慢轉到水平位置，在該過程中，斜面和擋板對小球的彈力的大小F₁、F₂各如何變化？

解：由于擋板是緩慢轉動的，可以認為每個時刻小球都處于靜止狀態(tài)，因此所受合力為零。應用三角形定則，G、F₁、F₂三個矢量應組成封閉三角形，其中G的大小、方向始終保持不變；F₁的方向不變；F₂的起點在G的終點處，而終點必須在F₁所在的直線上，由作圖可知，擋板逆時針轉動90°過程，F₂矢量也逆時針轉動90°，因此F₁逐漸變小，F₂先變小后變大。(當F₂⊥F₁，即擋板與斜面垂直時，F₂最小)

[例14]重G的均勻繩兩端懸于水平天花板上的A、B兩點。靜止時繩兩端的切線方向與天花板成α角。求繩的A端所受拉力F₁和繩中點C處的張力F₂。

解：以AC段繩為研究對象，根據判定定理，雖然AC所受的三個力分別作用在不同的點(如圖中的A、C、P點)，但它們必為共點力。設它們延長線的交點為O，用平行四邊形定則作圖可得：，。

[例15]有一個直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙， OB豎直向下，表面光滑。AO上套有小環(huán)P，OB上套有小環(huán)Q，兩環(huán)質量均為m，兩環(huán)由一根質量可忽略、不可伸長的細繩相連，并在某一位置平衡(如圖所示)�，F將P環(huán)向左移一小段距離，兩環(huán)再次達到平衡，那么將移動后的平衡狀態(tài)和原來的平衡狀態(tài)比較，AO桿對P環(huán)的支持力F_N和摩擦力f的變化情況是

A．F_N不變，f變大　　　　　　　 B．F_N不變，f變小

C．F_N變大，f變大　　　　　　　 　D．F_N變大，f變小

解：以兩環(huán)和細繩整體為對象求F_N，可知豎直方向上始終二力平衡，F_N=2mg不變；以Q環(huán)為對象，在重力、細繩拉力F和OB壓力N作用下平衡，設細繩和豎直方向的夾角為α，則P環(huán)向左移的過程中α將減小，N=mgtanα也將減小。再以整體為對象，水平方向只有OB對Q的壓力N和OA 對P環(huán)的摩擦力f作用，因此f=N也減小。答案選B。

[例16]A的質量是m，A、B始終相對靜止，共同沿水平面向右運動。當a₁=0和a₂=0.75g時，B對A的作用力F_B各多大？

解：一定要審清題：B對A的作用力F_B是B對A的支持力和摩擦力的合力。而A所受重力G=mg和F_B的合力是F=ma。

當a₁=0時，G與 F_B二力平衡，所以F_B大小為mg，方向豎直向上。

當a₂=0.75g時，用平行四邊形定則作圖：先畫出重力(大小和方向)，再畫出A所受合力F的大小和方向，再根據平行四邊形定則畫出F_B。由已知可得F_B的大小F_B=1.25mg，方向與豎直方向成37⁰角斜向右上方。

[例17] 如圖所示，兩物體A和B，質量分別為M和m。用跨過定滑輪的輕繩相連，A靜止于水平地面上，不計定滑輪與各個接觸物體之間的摩擦。物體A對輕繩的作用力的大小和地面對物體A的作用力的大小分別是多少？

分析與解答：本題的關鍵詞語有：“靜止”、“輕繩”、“不計……摩擦”。

對B進行受力分析：豎直向下的重力和豎直的向上輕繩對物體B的拉力。

對A進行受力分析：豎直向下的重力、豎直向上的輕繩對物體A的拉力和豎直向上的地面對物體A的支持力。其中輕繩對物體A和輕繩對物體B的拉力是相等的。

根據物體A和物體B都處于靜止狀態(tài)可知，輕繩對物體B的拉力等于物體B的重力；輕繩對物體B的拉力等于物體B對輕繩的拉力(這是一對作用力和反作用力)，輕繩對物體A的作用力等于輕繩中的張力，即等于物體B的重力。

對于物體A，根據平衡知識可知，物體A受到的重力等于輕繩對物體A的拉力與地面對物體A的支持力的和。又輕繩對物體A的拉力等于物體B的重力，所以，地面對物體A的支持力等于物體A的重力減去輕繩對物體A的拉力，即等于物體A的重力減去物體B的重力。

[續(xù)問](1)物體A對地面的壓力(等于地面對物體A的支持力)；(2)物體B對輕繩的拉力(等于物體B的重力)；(3)另一段輕繩對天花板的拉力(等于兩倍物體B的重力)。

[變形]連接物體A的輕繩與豎直線之間有一夾角θ，整個裝置仍處于靜止狀態(tài)。

這時輕繩中的拉力仍等于物體B的重力，物體A將受到地面水平方向的摩擦力作用，大小等于物體B的重力乘以θ角的正弦；地面對物體A的支持力等于物體A受到的重力減去物體B的重力與θ角的余弦的積。地面對物體A的作用力自己可以推導；若定滑輪的質量不計，還可以求另一段輕繩對天花板的作用力的大小和方向{方向與豎直線的夾角為θ/2；大小為2mgcos(θ/2)}。

[例18]重力為G的物體A受到與豎直方向成α角的外力F后，靜止在豎直墻面上，如圖所示，試求墻對物體A的靜摩擦力。

分析與解答：

這是物體靜力平衡問題。首先確定研究對象，對研究對象進行受力分析，畫出受力圖。A受豎直向下的重力G，外力F，墻對A水平向右的支持力N，以及還可能有靜摩擦力f。這里對靜摩擦力的有無及方向的判斷是極其重要的。物體之間有相對運動趨勢時，它們之間就有靜摩擦力；物體間沒有相對運動趨勢時，它們之間就沒有靜摩擦力。那么有無靜摩擦力的鑒別，關鍵是對相對運動趨勢的理解。我們可以假設接觸面是光滑的，若不會相對運動，物體將不受靜摩擦力，若有相對運動就有靜摩擦力。

(注意：這種假設的方法在研究物理問題時是常用的方法，也是很重要的方法。)

正確的答案應該是：

當 Fcosα=G時，物體A在豎直方向上受力已經平衡，故靜摩擦力為零；

當 Fcosα<G時，物體有向下滑動的趨勢，故靜摩擦力f的方向向上，大小為G-F·cosα；

當 Fcosα>G時，物體有向上滑動的趨勢，故靜摩擦力f的方向向下，大小為 Fcosα-G。

注意：墻對物體的支持力為N，N=F·sinα，但不能用f=μN來計算靜摩擦力。f=μN只適用于滑動摩擦力的計算，在高中學習的范圍，我們認為最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等。

[例19]如圖示，大小為20N、30N和40N的三個力作用于物體一點上，夾角互為120°，求合力的大小和方向。

分析與解答：不在一條直線上的共點力合成應遵從平行四邊形法則。

方法一：設F₁=20N，F₂=30N，F₃=40N，可用代數法(公式法)求解。先求出F₁和F₂的合力F₁₂的大小和方向，然后再將F₁₂與F₃合成求出大小和方向，此法計算準確誤差小但過于繁雜。

方法二：利用作圖法求解，沒有繁雜的計算，但作圖誤差不可避免，大小和方向都會產生誤差。

方法三：可用分解后再合成，化復雜為簡單，選取平面直角坐標系如圖所示。將F₂、F₁沿坐標軸方向分解[分解的矢量越少越好，這就是選取坐標系的原則]：

ΣF_x=F_1x+F_2x+F_3x=-F₁cos30°+F₂cos30°+0=-20×+30×=5N

ΣF_y=F_1y+F_2y+F_3y=-F₁sin30°+F₂sin30°-F₃=20×+30×-40=-15N

∑F===10N

tanθ===，即θ=-60⁰

F與x軸正方向夾角為60⁰，如圖所示。

方法四：利用已知的結論進行解題往往更簡捷，特別是在填空、選擇題中發(fā)揮明顯的優(yōu)勢。

三個大小相等互為120°角的三個共點力的合力為零，這一點很容易證明，如果我們把F₂、F₃中的20N與F₁進行合成，合力便為零，此題就簡化為一個10N和一個20N的兩個力夾角為120°的合成問題，這時不管是用計算法還是作圖法都會覺得很方便且容易得多。

方法五：若仍用方法四中的思路，而是每個力中取30N，F₃則再將加上-10N，F₁再加10N即可，這樣此題就簡化成兩個夾角為60°、大小均為10N的兩個力的合成問題，利用直角三角形的知識即可解決，不必經分解后再合成的迂回步驟�？梢娨活}多解是訓練思維的好方法，是提高能力的有效措施。

　[例20]如圖所示，一塊木塊被兩塊木板夾在中間靜止不動，在兩側對兩木板所加水平方向力的大小均為N，木塊的質量為m。

(1)木塊與木板間的靜摩擦力是多少？

(2)若木塊與木板間的最大靜摩擦系數為μ，欲將木塊向下或向上抽出，則所需的外力F各多大？

分析與解答：

(1)由于木塊處于平衡狀態(tài)，且木塊兩側均分別與木板接觸，所以木塊兩側均受向上的靜摩擦力，其大小的總和與重力相等，如圖所示，即2f=mg，所以木塊與木板間的靜摩擦力為f=mg/2。

(2)若對木塊施加一向下的外力F，木塊仍處于平衡狀態(tài)，則木塊所受的靜摩擦力方向仍向上，且隨著外力F的增大而增大，如圖所示。當靜摩擦力增大到最大靜摩擦力時，本塊開始相對于木板滑動，這時可將木塊從木板中抽出，有：F+mg=2f_max，其中f_max為最大靜摩擦力，且f_max=μN，所以F=2μN-mg。

(3)當對木塊加一向上的力F時，開始木塊所受靜摩擦力方向向上，且隨F的增加而減小。當F增大到一定值時，恰好使木塊的靜摩擦力為零。這時若F繼續(xù)增加，則木塊受的靜摩擦力向下，且隨F的增大而增大，當F增大到一定程度，木塊的靜摩擦力為最大靜摩擦力，這時，木塊將被向上抽出，如圖所示。有：F=mg+2f_max，其中f_max為最大靜摩擦力，且f_max=μN，所以F=mg+2μN。

所以欲將木塊向下抽出，至少需加2μN-mg的外力，欲將木塊向上抽出，至少需加2μN+mg的外力。

[例21]用繩將球A掛在光滑豎直墻上，如圖所示。(1)現施加外力將球A繞球心順時針轉過一個小角度，外力撤去后，球的運動情況如何？(2)墻面光滑，繩子變短時，繩的拉力和球對墻的壓力將如何變化？

分析與解答：

(1)因為墻是光滑的，繩子的作用力一定過球心。取球為研究對象，受力圖如圖所示。N為墻對球的力，方向水平向右；重力mg方向豎直向下；繩拉力T沿繩的方向，θ為繩與墻的夾角。因為小球靜止，所以N、T、mg的合力為零，即T、N的合力F大小等于mg，方向豎直向上，T=mg/cosθ，N=mgtanθ。

當球A受到外力矩使其順時針轉動一個小角度后，重力mg和墻對球的支持力方向不變且均過球心，而繩對球A的作用力T不再過球心，且此力T對球A中心產生一使球A逆時針轉動的效果，墻面光滑無摩擦力。所以外力撤去后，球A在力T對球A的作用下使球A繞球心逆時針轉動。當球A轉動到原平衡位置時，球A具有轉動動能而繼續(xù)轉動，轉動到一定角度后速度為零，而后球A向順時針方向轉動，再次轉動到平衡位置時，球A仍具有轉動動能而繼續(xù)順時針方向轉動，轉動為速度為零后又重復上述過程。

(2)研究變量的問題，我們要緊緊抓住被研究變量與不變量之間的關系，這是研究此類問題的一般思路和方法．由受力圖可知：

T=mg/cosθ　　　　　 ①

N=mgtanθ　　　 　�、�

墻面光滑，當繩子變短時，θ角增大，式①中cosθ將變小，但其在分母上故整個分式變大，即T增大；式②中tanθ隨θ變大而增大，故N也增大。

此題也可用圖解法求解，因為T、N的合力F大小為mg，方向豎直向上，N的方向也已知總是垂直于墻(這些都是不變的量)。即已知合力和一個分力的方向求另一個分力。根據矢量合成的三角形法則，由圖可知，當θ增大時，N變?yōu)镹′，T變?yōu)門′，都將增大。

3．三力匯交原理：物體在三個互不平行的力的作用下處于平衡，則這三個力必為共點力。(表示這三個力的矢量首尾相接，恰能組成一個封閉三角形)

2．共點力的平衡條件：在共點力作用下物體的平衡條件是合力為零。

1．共點力：幾個力作用于物體的同一點，或它們的作用線交于同一點(該點不一定在物體上)，這幾個力叫共點力。

4．需要合成或分解時，必須畫出相應的平行四邊形(或三角形)。

在解同一個問題時，分析了合力就不能再分析分力；分析了分力就不能再分析合力，不可重復。

[例10]如圖所示，傾角為θ的斜面A固定在水平面上。木塊B、C的質量分別為M、m，始終保持相對靜止，共同沿斜面下滑。B的上表面保持水平，A、B間的動摩擦因數為μ。(1)當B、C共同勻速下滑；(2)當B、C共同加速下滑時，分別求B、C所受的各力。

解：(1)先分析C受的力。這時以C為研究對象，重力G₁=mg，B對C的彈力豎直向上，大小N₁= mg，由于C在水平方向沒有加速度，所以B、C間無摩擦力，即f₁=0。

再分析B受的力，在分析 B與A間的彈力N₂和摩擦力f₂時，以BC整體為對象較好，A對該整體的彈力和摩擦力就是A對B的彈力N₂和摩擦力f₂，得到B受4個力作用：重力G₂=Mg，C對B的壓力豎直向下，大小N₁= mg，A對B的彈力N₂=(M+m)gcosθ，A對B的摩擦力f₂=(M+m)gsinθ

(2)由于B、C 共同加速下滑，加速度相同，所以先以B、C整體為對象求A對B的彈力N₂、摩擦力f₂，并求出a ；再以C為對象求B、C間的彈力、摩擦力。

這里，f₂是滑動摩擦力N₂=(M+m)gcosθ， f₂=μN₂=μ(M+m)gcosθ

沿斜面方向用牛頓第二定律：(M+m)gsinθ-μ(M+m)gcosθ=(M+m)a

可得a=g(sinθ-μcosθ)。B、C間的彈力N₁、摩擦力f₁則應以C為對象求得。

由于C所受合力沿斜面向下，而所受的3個力的方向都在水平或豎直方向。這種情況下，比較簡便的方法是以水平、豎直方向建立直角坐標系，分解加速度a。

分別沿水平、豎直方向用牛頓第二定律：f₁=macosθ，mg-N₁= masinθ，

可得：f₁=mg(sinθ-μcosθ) cosθ，N₁= mg(cosθ+μsinθ)cosθ

由本題可以知道：①靈活地選取研究對象可以使問題簡化；②靈活選定坐標系的方向也可以使計算簡化；③在物體的受力圖的旁邊標出物體的速度、加速度的方向，有助于確定摩擦力方向，也有助于用牛頓第二定律建立方程時保證使合力方向和加速度方向相同。

[例11]小球質量為m，電荷為+q，以初速度v向右滑入水平絕緣桿，勻強磁場方向如圖所示，球與桿間的動摩擦因數為μ。試描述小球在桿上的運動情況。

解：先分析小球的受力情況，再由受力情況確定其運動情況。

小球剛滑入桿時，所受場力為：重力mg方向向下，洛倫茲力F_f=qvB方向向上；再分析接觸力：由于彈力F_N的大小、方向取決于v和的大小關系，所以須分三種情況討論：

① v>，在摩擦力作用下，v、F_f、F_N、f都逐漸減小，當v減小到等于時達到平衡而做勻速運動；② v<，在摩擦力作用下，v、F_f逐漸減小，而F_N、f逐漸增大，故v將一直減小到零；③ v=，F_f=G， F_N、f均為零，小球保持勻速運動。

[例12]一航天探測器完成對月球的探測任務后，在離開月球的過程中，由靜止開始沿著與月球表面成一傾斜角的直線飛行，先加速運動，再勻速運動。探測器通過噴氣而獲得推動力。以下關于噴氣方向的描述中正確的是

A．探測器加速運動時，沿直線向后噴氣　　　 B．探測器加速運動時，豎直向下噴氣

C．探測器勻速運動時，豎直向下噴氣　　　　 D．探測器勻速運動時，不需要噴氣

解：探測器沿直線加速運動時，所受合力F_合方向與運動方向相同，而重力方向豎直向下，由平行四邊形定則知推力方向必須斜向上方，因此噴氣方向斜向下方。勻速運動時，所受合力為零，因此推力方向必須豎直向上，噴氣方向豎直向下。選C

3．只畫性質力，不畫效果力。

畫受力示意圖時，只能按力的性質分類畫力，不能按作用效果(拉力、壓力、向心力等)畫力，否則將出現重復。

2．按順序找力。

必須是先場力(重力、電場力、磁場力)，后接觸力；接觸力中必須先彈力，后摩擦力(只有在有彈力的接觸面之間才可能有摩擦力)。

1．明確研究對象。

在進行受力分析時，研究對象可以是某一個物體，也可以是保持相對靜止的若干個物體。在解決比較復雜的問題時，靈活地選取研究對象可以使問題簡化。研究對象確定以后，只分析研究對象以外的物體施予研究對象的力(既研究對象所受的外力)，而不分析研究對象施予外界的力。

4．二點補充

(1)已知合力，加上一定的條件求分力的各種情況

①已知合力、二分力的方向，求二分力的大�。�

②已知合力、其中一分力F₁的大小和方向，求另F₂的大小和方向？

③已知合力、F₁的大小、F₂的方向，求F₁的方向？F₂的大小？

④已知合力、二分力的大小，求二分力的方向？

(2)滑輪問題

①滑輪本身的重力、摩擦一般不計。

②一根繩子上各點的力大小相等。

③滑輪的作用僅改變繩上拉力的方向。

④軸上的力等于二邊繩子拉力的合力(不一定是大小之和)。

[例8]已知質量為m、電荷為q的小球，在勻強電場中由靜止釋放后沿直線OP向斜下方運動(OP和豎直方向成θ角)，那么所加勻強電場的場強E的最小值是多少？

解：根據題意，釋放后小球所受合力的方向必為OP方向。用三角形定則從右圖中不難看出：重力矢量OG的大小方向確定后，合力F的方向確定(為OP方向)，而電場力Eq的矢量起點必須在G點，終點必須在OP射線上。在圖中畫出一組可能的電場力，不難看出，只有當電場力方向與OP方向垂直時Eq才會最小，所以E也最小，有。

這是一道很典型的考察力的合成的題，不少同學只死記住“垂直”，而不分析哪兩個矢量垂直，經常誤認為電場力和重力垂直，而得出錯誤答案。越是簡單的題越要認真作圖。

[例9]輕繩AB總長l，用輕滑輪懸掛重G的物體。繩能承受的最大拉力是2G，將A端固定，將B端緩慢向右移動d而使繩不斷，求d的最大值。

解：以與滑輪接觸的那一小段繩子為研究對象，在任何一個平衡位置都在滑輪對它的壓力(大小為G)和繩的拉力F₁、F₂共同作用下靜止。而同一根繩子上的拉力大小F₁、F₂總是相等的，它們的合力N是壓力G的平衡力，方向豎直向上。因此以F₁、F₂為分力做力的合成的平行四邊形一定是菱形。利用菱形對角線互相垂直平分的性質，結合相似形知識可得，所以d最大為。

3．矢量的合成分解，一定要認真作圖。在用平行四邊形定則時，分矢量和合矢量要畫成帶箭頭的實線，平行四邊形的另外兩個邊必須畫成虛線。各個矢量的大小和方向一定要畫得合理。

在應用正交分解時，兩個分矢量和合矢量的夾角一定要分清哪個是大銳角，哪個是小銳角，不可隨意畫成45°(當題目規(guī)定為45°時除外)。