[例1]求角(用反三角函數(shù)表示):

(1)已知tanx=3,x∈[0.2π]求x的值;

(2)已知cos2α=,α∈(0,),sinβ=-,β∈(π, 　)

求α+β.

解：(1)在上,時(shí),tanx=3;

在上,,

∴x=arctan3或π+arctan3.

(2)由;得

sinα=,從而cosα=,且cosβ=-

又α+β∈(π,2π)?

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-.

∴α+βπ=

即α+β=2π-arccos

◆提煉方法：求角先求三角函數(shù)值,求什么三角函數(shù)值要先看角的范圍,如本題(2)應(yīng)求余弦而不能求正弦.角不在主值區(qū)間時(shí),要借助圖象、三角函數(shù)線或誘導(dǎo)公式寫出符合條件的角。

[例2](2007啟東質(zhì)檢)已知A、B、C是三內(nèi)角，向量，且，

(1)求角A；

(2)若，求

解:(1)∵ ∴，即

,

∵，∴，∴

(2)由題知，整理得

∴，∴，∴或

而使，舍去，∴

∴

[例3]在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)檢測(cè)，當(dāng)前臺(tái)

風(fēng)中心位于城市O(如圖)的東偏南方向

300 km的海面P處，并以20 km / h的速度向西偏北的

方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60 km ，

并以10 km / h的速度不斷增加，問幾小時(shí)后該城市開始受到

臺(tái)風(fēng)的侵襲。

解法一:設(shè)在時(shí)刻t(h)臺(tái)風(fēng)中心為Q,此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑為10t+60(km)

若在時(shí)刻t城市O受到臺(tái)風(fēng)的侵襲,則

由余弦定理知

由于PO=300,PQ=20t

故

因此

解得

解法二:如圖建立坐標(biāo)系：以O(shè)為原點(diǎn)，正東方向?yàn)?i>x軸正向. 在時(shí)刻：t(h)臺(tái)風(fēng)中心的坐標(biāo)為

　 此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的區(qū)域是，其中t+60，

　 若在t時(shí)，該城市O受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，則有

即

即，　 解得.

答：12小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)氣侵襲

◆提煉方法：實(shí)際應(yīng)用問題，要從中找出題中的三角形和已知的邊角等條件，再設(shè)計(jì)出合理的解題方案。

[例4]已知函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象.　 ⑴求函數(shù)的表達(dá)式;

⑵證明當(dāng)時(shí)，經(jīng)過函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)的直線的斜率恒大于零.

解：(I)

(II)證明一：依題意，只需證明函數(shù)g(x)當(dāng)時(shí)是增函數(shù)

在即的每一個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)

當(dāng)時(shí)，在是增函數(shù),則當(dāng)時(shí)，經(jīng)過函數(shù)g(x)圖像上任意兩點(diǎn)的直線的斜率恒大于零

[研討.欣賞]某城市有一條公路，自西向東經(jīng)過A點(diǎn)到市中心O點(diǎn)后轉(zhuǎn)向東北方向OB，現(xiàn)要修建一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段，現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10 km，問把A、B分別設(shè)在公路上離中心O多遠(yuǎn)處才能使|AB|最短?并求其最短距離.(不要求作近似計(jì)算)

解：在△AOB中，設(shè)OA=a，OB=b.

因?yàn)?i>AO為正西方向，OB為東北方向，所以∠AOB=135°.

又O到AB的距離為10.

∴

設(shè)∠OAB=α，則∠OBA=45°－α.

所以a=，b=，

ab=·

=

=

=≥，

當(dāng)且僅當(dāng)α=22°30′ 時(shí)，“=”成立.

所以|AB|²≥=400(+1)²，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b，α=22°30′時(shí)，“=”成立.

所以當(dāng)a=b==10時(shí)，即當(dāng)AB分別在OA、OB上離O點(diǎn)10 km處，能使|AB|最短，最短距離為20(－1).

法二;

…

法三:|AB|²=a²+b²－2abcos135°=a²+b²+ab≥2ab+ab=(2+)ab，…

◆溫馨提示:1.若直接建立|AB|²與角α的函數(shù)關(guān)系,求最值值困難;

2.先視|AB|²為a,b的函數(shù)放縮,再把a(bǔ)b看成α的函數(shù)求出最小值;

4.作CE⊥平面ABD于E，則∠CDE=40°,延長DE交直線AB于F，則∠CFD是遮陽棚與地面所成的角，在△CFD中，=.∴DF=.當(dāng)α=50°時(shí)，DF最大.答案：C;　 5.; 6. 最大值為1+=.

3.sinA₂=cosA₁,……A₁、B₁、C₁是銳角。如果A₂、B₂、C₂也是銳角，則，矛盾，故選D。

6．(2004北京西城二模)函數(shù)y=sinx(sinx+cosx)(x∈R)的最大值是_______.

◆答案:1-4.CBDC; 2.A+B＞.∴A＞－B，B＞－A.

∴sinA＞cosB，sinB＞cosA.,P在第二象限.

5．(2003上海)若x=是方程2cos(x+α)=1的解，其中α∈(0，2π)，則α=_________.

4. 如圖，△ABC是簡(jiǎn)易遮陽棚，A、B是南北方向上兩個(gè)定點(diǎn)，正東方向射出的太陽光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽棚ABC與地面所成的角為

A.75°　　　　　　　　　 B.60°　　　　　 C.50°　　　　　 D.45°

3．的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則(　 )

A．和都是銳角三角形

B．和都是鈍角三角形

C．是鈍角三角形，是銳角三角形

D．是銳角三角形，是鈍角三角形

2.若A、B是銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則點(diǎn)P(cosB－sinA，sinB－cosA)在(　 )

A.第一象限　　 B.第二象限　 C.第三象限　 D.第四象限

1. 已知，則x等于　 (　 )

4．在應(yīng)用與綜合性題目中,當(dāng)角不是特殊角,要“用反三角函數(shù)表示角”:

(1)

(2)arccosa表示[0，π]上余弦值等于a的角,a∈[－1,1];

(3)

(4) 對(duì)于不是上述范圍內(nèi)的角,可借助誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)線,找出與上述反三角的關(guān)系進(jìn)而求出. 例如:sinα=0.3, α是鈍角,則α=π－arcsin0.3.