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已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F．⊙M的圓心在x軸的正半軸上，且與y軸相切．過原點(diǎn)O作傾斜角為

π

3

的直線n，交l于點(diǎn)A，交⊙M于另一點(diǎn)B，且AO=OB=2．
（Ⅰ）求⊙M和拋物線C的方程；
（Ⅱ）若P為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，求

PM

•

PF

的最小值；
（Ⅲ）過l上的動(dòng)點(diǎn)Q向⊙M作切線，切點(diǎn)為S，T，求證：直線ST恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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（09年湖北鄂州5月模擬理）已知兩定點(diǎn)A(－3，0)，B(3，0)，動(dòng)圓M與直線AB相切于點(diǎn)N，且，現(xiàn)分別過點(diǎn)A、B作動(dòng)圓M的切線（異于直線AB），兩切線相交于點(diǎn)P．

⑴求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

⑵若直線xmy3＝0截動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所得的弦長(zhǎng)為5，求m的值；

    ⑶設(shè)過軌跡上的點(diǎn)P的直線與兩直線分別交于點(diǎn)P₁、P₂，且點(diǎn)P分有向線段所成的比為λ(λ＞0)，當(dāng)λ∈時(shí)，求的最值．

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已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F，⊙M的圓心在x軸的正半軸上，且與y軸相切，過原點(diǎn)O作傾斜角為的直線n，交l于點(diǎn)A，交⊙M于另一點(diǎn)B，且AO=OB=2．
（1）求⊙M和拋物線C的方程；
（2）過l上的動(dòng)點(diǎn)Q向⊙M作切線，切點(diǎn)為S，T，求證：直線ST恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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一、選擇題：（每小題5分，共60分）

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

B

C

A

B

C

D

C

B

C

B

A

二、填空題：（每小題5分，共20分）

13、  0.1；       14、__（0，1]_；     15、；     16、①④  ；

三、解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17. (1)由得：，      ……………………………… 2分

即，    ……………… 4分

當(dāng)時(shí)，，

　　因?yàn)?sub>，有，，得

 故     ……………………………    7分

(2)∵是奇函數(shù)，且將的圖象先向右平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，可以得到的圖象，∴是滿足條件的一個(gè)平移向量．……10分

18. (Ⅰ)，……5分

（Ⅱ），……8分

，……10分

19.       (Ⅰ) ，的可能取值為1，2，3

∴   ∴，因此，隨機(jī)變量的最大值為3

……5分

（Ⅱ）的可能取值為0，1，2，3，則……6分

，，，……9分

隨機(jī)變量的分布列（略）

……10分

20．(Ⅰ) 解法一：

（Ⅰ）證：由已知DF∥AB且DAD為直角，故ABFD是矩形，從而CDBF. ………..4分

又PA底面ABCD,CDAD，故知CDPD.在△PDC中，E、F分別PC、CD的中點(diǎn)，故EF∥PD,從而CDEF,由此得CD面BEF. 　　………..7分

（Ⅱ）連結(jié)AC交BF于G.易知G為AC的中點(diǎn).連接EG,則在△PAC中易知EC∥PA.又因

PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，過C作GHBD,垂足為H,連接EH.由三垂線定理知EHBD.從而EHG為二面角E-BD-C的平面角. ………..10分

設(shè)AB=a,則在△PAC中，有

BG=PA=ka.

以下計(jì)算GH，考察底面的平面圖（如答(19)圖２）.連結(jié)GD.

因S_△CBD=BD?GH=GB?OF.故GH=.

在△ABD中，因?yàn)?i>AB＝a,AD=2A,得BD=a　　　　　　　　　　

而GB=FB=AD-a.DF-AB,從而得GH== ＝因此tanEHG==………..12分

由k＞0知是銳角，故要使＞，必須＞tan=

解之得，k的取值范圍為k＞………..14分

解法二：

（Ⅰ）如圖，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為：軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=a,則易知點(diǎn)A,B,C,D,F的坐標(biāo)分別為

A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),

F(a,2a,0).

從而=(2a,0,0), =(0,2a,0), 　　　　

?=0,故  .

設(shè)PA=b,則P(0,0,b),而E為PC中點(diǎn).故                 第（20）

?=0,故.

由此得CD面BEF.

（Ⅱ）設(shè)E在xOy平面上的投影為G，過G作GHBD垂足為H,由三垂線定理知EHBD.

從而EHG為二面角E-BD-C的平面角.

由PA＝k?AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).設(shè)H(x,y,0)，則=(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),

由?=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即x-2y=-a      ①

又因=(x,a,y,0),且與的方向相同，故＝，即2x+y=2a      ②

由①②解得x=a,y=a,從而＝，｜｜＝a.

tanEHG===.由k＞0知，EHC是銳角，由EHC＞得tanEHG＞tan即＞故k的取值范圍為k＞.

21．解：（1）由

    因直線相切，

，

    ∵橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，∴

    故所求橢圓方程為 …………4分

  （2）當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：

    當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：  

    由

    即兩圓相切于點(diǎn)（0，1）

    因此，所求的點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1）…………8分

    事實(shí)上，點(diǎn)T（0，1）就是所求的點(diǎn)，證明如下．

    當(dāng)直線L垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T（0，1）

    若直線L不垂直于x軸，可設(shè)直線L：

    由

    記點(diǎn)、

    所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T（0，1）

    所以在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（0，1）滿足條件．…………12分

22. 解答：（1），由題意及導(dǎo)數(shù)的幾何意義得

，            �。�1）

，          （2）   ……2分

又，可得，即，故

由（1）得，代入，再由，得

， （3）  ……4分           

將代入（2）得，即方程有實(shí)根．

故其判別式得，或,        （4） 

由（3），（4）得；……6分   

（2）由的判別式，

知方程有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)為，

又由知，為方程（）的一個(gè)實(shí)根，則有根與系數(shù)的關(guān)系得

， ……8分                   

當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

故函數(shù)的遞增區(qū)間為，由題設(shè)知，

因此，由（Ⅰ）知得的取值范圍為；……10分                            

（3）由，即，即