（2013•南京二模）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=4，CB=4，CC₁=2

2

，∠ACB=90°，點M在線段A₁B₁上．
（1）若A₁M=3MB₁，求異面直線AM與A₁C所成角的余弦值；
（2）若直線AM與平面ABC₁所成角為30°，試確定點M的位置．

（2009•荊州模擬）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=1，點D是A₁C的中點．
（1）求證：平面BDB₁⊥平面AB₁C；
（2）求二面角C-AB₁-B的大小的正切值．

（2012•黃州區(qū)模擬）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，D是BC的中點．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-AD-C的余弦值；
（Ⅲ）試問線段A₁B₁上是否存在點E，使AE與DC₁成60°角？若存在，確定E點位置，若不存在，說明理由．

（理科）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，CC₁＞AC，∠ACB=90°，異面直線AC₁與BA₁所成角的大小為arccos

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．
（1）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積；
（2）設(shè)D為線段A₁B₁的中點，求二面角A-C₁D-A₁的大�。�（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）