題目列表(包括答案和解析)
設(shè)A是如下形式的2行3列的數(shù)表,
a |
b |
c |
d |
e |
f |
滿足性質(zhì)P:a,b,c,d,e,f,且a+b+c+d+e+f=0
記為A的第i行各數(shù)之和(i=1,2),
為A的第j列各數(shù)之和(j=1,2,3)記
為
中的最小值。
(1)對如下表A,求的值
1 |
1 |
-0.8 |
0.1 |
-0.3 |
-1 |
(2)設(shè)數(shù)表A形如
1 |
1 |
-1-2d |
d |
d |
-1 |
其中,求
的最大值
(3)對所有滿足性質(zhì)P的2行3列的數(shù)表A,求的最大值。
【解析】(1)因為,
,所以
(2),
因為,所以
,
所以
當d=0時,取得最大值1
(3)任給滿足性質(zhì)P的數(shù)表A(如圖所示)
a |
b |
c |
d |
e |
f |
任意改變A的行次序或列次序,或把A中的每個數(shù)換成它的相反數(shù),所得數(shù)表仍滿足性質(zhì)P,并且
,因此,不妨設(shè)
,
,
由得定義知,
,
,
,
從而
所以,,由(2)知,存在滿足性質(zhì)P的數(shù)表A使
,故
的最大值為1
【考點定位】此題作為壓軸題難度較大,考查學生分析問題解決問題的能力,考查學生嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力
已知橢圓(a>b>0),點
在橢圓上。
(I)求橢圓的離心率。
(II)設(shè)A為橢圓的右頂點,O為坐標原點,若Q在橢圓上且滿足|AQ|=|AO|,求直線OQ的斜率的值。
【考點定位】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面內(nèi)兩點間距離公式等基礎(chǔ)知識. 考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì),以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法.考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.
【題文】(本題滿分10分) 選修4-1:幾何證明選講
如圖,圓O的直徑AB=10,弦DE⊥AB于點H,AH=2.
(1)求DE的長;
(2)延長ED到P,過P作圓O的切線,切點為C,若PC=2
,求PD的長.
本小題滿分12分)高二級某次數(shù)學測試中,隨機從該年級所有學生中抽取了100名同學的數(shù)學成績(滿分150分),經(jīng)統(tǒng)計成績在的有6人,在
的有4人.在
,
各區(qū)間分布情況如右圖所示的頻率分布直方圖,若直方圖中,
和
對應(yīng)小矩形高度相等,且
對應(yīng)小矩形高度又恰為
對應(yīng)小矩形高度的一半.
(1)確定圖中的值;
(2)設(shè)得分在110分以上(含110分)為優(yōu)秀,則這次測試的優(yōu)秀率是多少?
(3)某班共有學生50人,若以該次統(tǒng)計結(jié)果為依據(jù),現(xiàn)隨機從該班學生中抽出3人, 則至少抽到一名數(shù)學成績優(yōu)秀學生的概率是多少?
【題文】
已知函數(shù)其中a>0.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個零點,求a的取值范圍;
(III)當a=1時,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+3]上的最大值為M(t),最小值為m(t),記g(t)=M(t)-m(t),求函數(shù)g(t)在區(qū)間[-3,-1]上的最小值。
【考點定位】本小題主要考查導數(shù)的運算,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點,函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識.考查函數(shù)思想、分類討論思想.考查綜合分析和解決問題的能力.
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)
1.D 2.A 3.B 4.D 5.B 6.C 7.C 8.B
二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)
9. 10.
11.5 10 12.
13.② 14.
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
15.(共13分)
解:(Ⅰ)
.
因為函數(shù)的最小正周期為
,且
,
所以,解得
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.
因為,
所以,
所以,
因此,即
的取值范圍為
.
16.(共14分)
解法一:
(Ⅰ)取中點
,連結(jié)
.
,
.
,
.
,
平面
.
平面
,
.
(Ⅱ),
,
.
又,
.
又,即
,且
,
平面
.
取中點
.連結(jié)
.
,
.
是
在平面
內(nèi)的射影,
.
是二面角
的平面角.
在中,
,
,
,
.
二面角
的大小為
.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知平面
,
平面
平面
.
過作
,垂足為
.
平面
平面
,
平面
.
的長即為點
到平面
的距離.
由(Ⅰ)知,又
,且
,
平面
.
平面
,
.
在中,
,
,
.
.
點
到平面
的距離為
.
解法二:
(Ⅰ),
,
.
又,
.
,
平面
.
平面
,
.
(Ⅱ)如圖,以為原點建立空間直角坐標系
.
則
.
設(shè).
,
,
.
取中點
,連結(jié)
.
,
,
,
.
是二面角
的平面角.
,
,
,
.
二面角
的大小為
.
(Ⅲ),
在平面
內(nèi)的射影為正
的中心
,且
的長為點
到平面
的距離.
如(Ⅱ)建立空間直角坐標系.
,
點
的坐標為
.
.
點
到平面
的距離為
.
17.(共13分)
解:(Ⅰ)記甲、乙兩人同時參加崗位服務(wù)為事件
,那么
,
即甲、乙兩人同時參加崗位服務(wù)的概率是
.
(Ⅱ)記甲、乙兩人同時參加同一崗位服務(wù)為事件,那么
,
所以,甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是.
(Ⅲ)隨機變量可能取的值為1,2.事件“
”是指有兩人同時參加
崗位服務(wù),
則.
所以,
的分布列是
1
3
18.(共13分)
解:
.
令,得
.
當,即
時,
的變化情況如下表:
0
當,即
時,
的變化情況如下表:
0
所以,當時,函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,
在上單調(diào)遞減.
當時,函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減.
當,即
時,
,所以函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞減.
19.(共14分)
解:(Ⅰ)由題意得直線的方程為
.
因為四邊形為菱形,所以
.
于是可設(shè)直線的方程為
.
由得
.
因為在橢圓上,
所以,解得
.
設(shè)兩點坐標分別為
,
則,
,
,
.
所以.
所以的中點坐標為
.
由四邊形為菱形可知,點
在直線
上,
所以,解得
.
所以直線的方程為
,即
.
(Ⅱ)因為四邊形為菱形,且
,
所以.
所以菱形的面積
.
由(Ⅰ)可得,
所以.
所以當時,菱形
的面積取得最大值
.
20.(共13分)
(Ⅰ)解:,
,
;
,
.
(Ⅱ)證明:設(shè)每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列為
,
則為
,
,
,
,
,
從而
.
又,
所以
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