問題提出
我們在分析解決某些數學問題時,經常要比較兩個數或代數式的大小,而解決問題的策略一般要進行一定的轉化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所謂“作差法”:就是通過作差、變形,并利用差的符號確定他們的大小,即要比較代數式M、N的大小,只要作出它們的差M-N,若M-N>0,則M>N;若M-N=0,則M=N;若M-N<0,則M<N.
問題解決
如圖1,把邊長為a+b(a≠b)的大正方形分割成兩個邊長分別是a、b的小正方形及兩個矩形,試比較兩個小正方形面積之和M與兩個矩形面積之和N的大。
解:由圖可知:M=a
2+b
2,N=2ab.
∴M-N=a
2+b
2-2ab=(a-b)
2.
∵a≠b,∴(a-b)
2>0.
∴M-N>0.
∴M>N.
類比應用
(1)已知:多項式M=2a
2-a+1,N=a
2-2a.試比較M與N的大。
(2)已知:如圖2,銳角△ABC (其中BC為a,AC為b,AB為c)三邊滿足a<b<c,現(xiàn)將△ABC 補成長方形,使得△ABC的兩個頂
點為長方形的兩個端點,第三個頂點落在長方形的這一邊的對邊上.
①這樣的長方形可以畫______個;
②所畫的長方形中哪個周長最。繛槭裁?
拓展延伸
已知:如圖3,銳角△ABC(其中BC為a,AC為b,AB為c)三邊滿足a<b<c,畫其BC邊上的內接正方形EFGH,使E、F兩點在邊BC上,G、H分別在邊AC、AB上,同樣還可畫AC、AB邊上的內接正方形,問哪條邊上的內接正方形面積最大?為什么?