16．如下圖所示.△ABC中.DE是AC的垂直平分線.AE=4cm.△ABD的周長為13cm.則△ABC的周長為 cm 【查看更多】

 

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如下圖所示，在△ABC中AB=AC，DE是AB的垂直平分線，D為垂足，交AC于E，若AB=a，△ABC的周長為b，求△BCE的周長。

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如下圖所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=3cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長為（    ）cm。

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如圖1所示，等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，則有∠BAD=30°，BD=CD=
1
2
AB．于是可得出結論“直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”．

請根據(jù)從上面材料中所得到的信息解答下列問題：
（1）△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，AB=a，則BC=
a
2
a
2
；
（2）如圖2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線交AB于點D，垂足為E，當BD=5cm，∠B=30°時，△ACD的周長=
15cm
15cm
．
（3）如圖3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中點，DE⊥AB，垂足為E，那么BE：EA=
3：1
3：1
．
（4）如圖4所示，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，且∠CAD=∠ABE，AD、BE交于點P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB與PQ的數(shù)量關系，并說明理由．

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已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D為AB邊的中點，∠EDF=90°，∠EDF繞D點旋轉，它的兩邊分別交AC、CB（或它們 的延長線）于E、F當∠EDF繞D點旋轉到DE⊥AC于E時（如圖所示①），易證S△DEF+S△CEF=S△ABC當∠EDF繞D點旋轉到DE和AC不垂直時，在圖②和圖③這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，不需證明。

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問題情境：將一副直角三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)按圖1所示的方式擺放，其中∠ACB＝90°，CA＝CB，∠FDE＝90°，O是AB的中點，點D與點O重合，DF⊥AC于點M，DE⊥BC于點N，試判斷線段OM與ON的數(shù)量關系，并說明理由．

探究展示：小宇同學展示出如下正確的解法：

解：OM＝ON，證明如下：

連接CO，則CO是AB邊上中線，

∵CA＝CB，∴CO是∠ACB的角平分線．(依據(jù)1)

∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM＝ON．(依據(jù)2)

反思交流：

(1)上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：

依據(jù)1：________

依據(jù)2：________

(2)你有與小宇不同的思考方法嗎？請寫出你的證明過程．

拓展延伸：

(3)將圖1中的Rt△DEF沿著射線BA的方向平移至如圖2所示的位置，使點D落在BA的延長線上，F(xiàn)D的延長線與CA的延長線垂直相交于點M，BC的延長線與DE垂直相交于點N，連接OM、ON，試判斷線段OM、ON的數(shù)量關系與位置關系，并寫出證明過程．

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