在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α，M是AC的中點(diǎn)，P是線段BM上的動(dòng)點(diǎn)，將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段PQ．

(1)若α＝60°且點(diǎn)P與點(diǎn)M重合(如下圖1)，線段CQ的延長(zhǎng)線交射線BM于點(diǎn)D，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并寫出∠CDB的度數(shù)；

(2)在圖2中，點(diǎn)P不與點(diǎn)B，M重合，線段CQ的延長(zhǎng)線與射線BM交于點(diǎn)D，猜想∠CDB的大小(用含α的代數(shù)式表示)，并加以證明；

(3)對(duì)于適當(dāng)大小的α，當(dāng)點(diǎn)P在線段BM上運(yùn)動(dòng)到某一位置(不與點(diǎn)B，M重合)時(shí)，能使得線段CQ的延長(zhǎng)線與射線BM交于點(diǎn)D，且PQ＝QD，請(qǐng)直接寫出α的范圍．

數(shù)學(xué)探究課上李老師出了這樣一道題：“如圖，正三角形ABC中有一點(diǎn)P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，試求∠APB的度數(shù)．”小明和小軍一起討論時(shí)發(fā)現(xiàn)了一種求∠APB度數(shù)的方法，下面是這種方法的一部分思路．請(qǐng)按照下列思路要求畫圖或判斷．

(1)在圖中畫出△APC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后的圖形△AP₁B；

(2)試判斷△AP₁P的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)試判斷△BP₁P的形狀，并說(shuō)明理由；

(4)由2，3兩問(wèn)可知：∠APB＝________．

李老師看過(guò)后，夸獎(jiǎng)了他們，同時(shí)提示他們?cè)囋囈訠點(diǎn)或C點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中點(diǎn)，對(duì)某個(gè)三角形進(jìn)行適當(dāng)?shù)匦�轉(zhuǎn)，看一看是否可以求出∠APB度數(shù)．你認(rèn)為可以嗎？如果可以，給出一種具體的旋轉(zhuǎn)方法；如果不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．

在課外小組活動(dòng)時(shí)，小偉拿來(lái)一道題(原問(wèn)題)和小熊、小強(qiáng)交流．

原問(wèn)題：如圖1，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分別以AB、BC為邊向外作△ABD與△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，連接DE交AB于點(diǎn)F．探究線段DF與EF的數(shù)量關(guān)系．

小偉同學(xué)的思路是：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于G，構(gòu)造全等三角形，通過(guò)推理使問(wèn)

題得解．

小熊同學(xué)說(shuō)：我做過(guò)一道類似的題目，不同的是∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°．

小強(qiáng)同學(xué)經(jīng)過(guò)合情推理，提出一個(gè)猜想，我們可以把問(wèn)題推廣到一般情況．

請(qǐng)你參考小慧同學(xué)的思路，探究并解決這三位同學(xué)提出的問(wèn)題：

(1)寫出原問(wèn)題中DF與EF的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，原問(wèn)題中的其他條件不變，你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫出你的猜想并加以證明；

(3)如圖3，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，原問(wèn)題中的其他條件不變，你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫出你的猜想并加以證明．

某校九年級(jí)學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過(guò)程中，用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖(1)所示位置放置放置，現(xiàn)將Rt△AEF繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)角α(0°＜α＜90°)，如圖(2)，AE與BC交于點(diǎn)M，AC與EF交于點(diǎn)N，BC與EF交于點(diǎn)P．

(1)求證：AM＝AN；

(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α＝30°時(shí)，四邊形ABPE是什么樣的特殊四邊形？并說(shuō)明理由．