一般來說，依據(jù)數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同種類的數(shù)學(xué)思想叫做“分類”的思想；將事物進(jìn)行分類，然后對(duì)劃分的每一類分別進(jìn)行研究和求解的方法叫做“分類討論”法，請(qǐng)你依據(jù)分類的思想和分類討論的方法解決下列問題：
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點(diǎn)D在BC所在的直線上運(yùn)動(dòng)，作∠ADE=45°（A、D、E按逆時(shí)針方向），
（1）如圖1，若點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，DE交AC于E
①求證：△ABD∽△DCE；
②當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長；
（2）如圖2，若點(diǎn)D在BC的延長線上運(yùn)動(dòng)，DE的反向延長線與AC延長線相交于點(diǎn)E′，是否存在點(diǎn)D，使得△ADE′是等腰三角形？若存在，求出CD與AE′的長；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．

（本題滿分10分）

情境觀察

將矩形ABCD紙片沿對(duì)角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示.將△A′C′D的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A(A′)、B在同一條直線上，如圖2所示．觀察圖2可知：與BC相等的線段是  ▲   ，∠CAC′=  ▲   °．

問題探究

如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分

別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等

腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為

P、Q.試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

拓展延伸

如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H. 若AB= k AE，AC= k AF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（本題滿分10分）

情境觀察

將矩形ABCD紙片沿對(duì)角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示.將△A′C′D的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A(A′)、B在同一條直線上，如圖2所示．觀察圖2可知：與BC相等的線段是   ▲   ，∠CAC′=   ▲   °．

問題探究

如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分

別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等

腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為

P、Q. 試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

拓展延伸

如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H. 若AB= k AE，AC= k AF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.