心理學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，在一節(jié)45分鐘的課中，學(xué)生的活動(dòng)隨學(xué)習(xí)時(shí)間的變化而變化，開(kāi)始學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，中間有一段時(shí)間學(xué)生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學(xué)生注意力開(kāi)始分散，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)分析可知，學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)），隨時(shí)間x（分鐘）的變化規(guī)律如下圖所示（其中AB、BC為線段，CD為雙曲線的一部分）．
（1）分別求出當(dāng)x≤10，10＜x＜30，以及x≥30時(shí)，注意力指標(biāo)數(shù)y與時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）開(kāi)始學(xué)習(xí)后第5分鐘時(shí)與第35分鐘時(shí)相比較，何時(shí)學(xué)生的注意力更集中？
（3）某數(shù)學(xué)內(nèi)容的課堂學(xué)習(xí)大致可分為三個(gè)環(huán)節(jié)：即“教師引導(dǎo)，回顧舊知；自主探索，合作交流；總結(jié)歸納，鞏固提高．”其中重點(diǎn)環(huán)節(jié)“自主探索，合作交流”這一過(guò)程需要30分鐘才能完成，為了確保效果，要求學(xué)習(xí)時(shí)的注意力指標(biāo)數(shù)不低于40．請(qǐng)問(wèn)這樣的課堂學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)安排是否合理？并說(shuō)明理由．

探索、研究：下圖是按照一定的規(guī)律畫(huà)出的一列“樹(shù)型”圖，下表的n表示“樹(shù)型”圖的序號(hào)，a_n表示第n個(gè)“樹(shù)型”圖中“樹(shù)枝”的個(gè)數(shù)。

圖：

表：

⑴ 根據(jù)“圖”、“表”可以歸納出a_n關(guān)于n的關(guān)系式為_(kāi)___________________。

若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，求直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明對(duì)任意的正整數(shù)n，點(diǎn)都在直線上。

⑵ 設(shè)直線：與x軸相交于點(diǎn)A，與直線相交于點(diǎn)M，雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，且與直線相交于另一點(diǎn)N。

① 求點(diǎn)N的坐標(biāo)，并在如圖所示的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出雙曲線及直線、。

② 設(shè)H為雙曲線在點(diǎn)M、N之間的部分（不包括點(diǎn)M、N），P為H上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，直線MP與x軸相交于點(diǎn)Q，當(dāng)為何值時(shí)，的面積等于的面積的2倍？又是否存在的值，使得的面積等于1？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

③ 在y軸上是否存在點(diǎn)G，使得的周長(zhǎng)最��？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

探索、研究：下圖是按照一定的規(guī)律畫(huà)出的一列“樹(shù)型”圖，下表的n表示“樹(shù)型”圖的序號(hào)，a_n表示第n個(gè)“樹(shù)型”圖中“樹(shù)枝”的個(gè)數(shù)．
圖：
表：

n	1	2	3	4	…
an	1	3	7	15	…

（1）根據(jù)“圖”、“表”可以歸納出a_n關(guān)于n的關(guān)系式為_(kāi)_____．
若直線l₁經(jīng)過(guò)點(diǎn)（a₁，a₂）、（a₂，a₃），求直線l₁對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明對(duì)任意的正整數(shù)n，點(diǎn)（a_n，a_n+1）都在直線l₁上．
（2）設(shè)直線l₂：y=-x+4與x軸相交于點(diǎn)A，與直線l₁相交于點(diǎn)M，雙曲線y=（x＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，且與直線l₂相交于另一點(diǎn)N．
①求點(diǎn)N的坐標(biāo)，并在如圖所示的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出雙曲線及直線l₁、l₂．
②設(shè)H為雙曲線在點(diǎn)M、N之間的部分（不包括點(diǎn)M、N），P為H上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，直線MP與x軸相交于點(diǎn)Q，當(dāng)t為何值時(shí)，△MQA的面積等于△PMA的面積的2倍又是否存在t的值，使得△PMA的面積等于1？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
③在y軸上是否存在點(diǎn)G，使得△GMN的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．