在等腰梯形中，已知AB=CD，AD∥BC，點(diǎn)E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F、G、H分別為BE、BC、CE的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形EFGH是菱形，說明理由；
（2）當(dāng)四邊形EFGH是正方形時(shí)，說明線段EG和BC的關(guān)系．（不用證明）

已知拋物線y=ax²+bx+6與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB=

1

2

OC，tan∠ACO=

1

6

，頂點(diǎn)為D．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）求直線CD與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（3）在此拋物線上是否存在一點(diǎn)F，使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（4）若點(diǎn)M（2，y）是此拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N是直線AM上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABMN的面積S最大？請(qǐng)求出此時(shí)S的最大值和點(diǎn)N的坐標(biāo)．
（5）點(diǎn)P為此拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，若以點(diǎn)P為圓心的圓與（4）中的直線AM及x軸同時(shí)相切，則此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．