求證：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離和等于一腰上的高．
已知：△ABC中，AB=AC，點P是BC邊上任意一點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，CD是AB邊上的高線．
求證：PE+PF=CD
證明：連接AP，
∵S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC
∴
∵AB=AC
∴PE+PF=CD

【變式應用】
請利用“類比”和“化歸”兩種方法解答下面問題：
求證：等邊三角形內上任意一點到三邊的距離和等于一邊上的高．
已知：點P是等邊△ABC內任意一點，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，AH是BC邊上的高線．
求證：PD+PE+PF=AH
證明：
方法（一）類比：通過類比上題的思路和方法，模仿上題的“面積法”解決本題．
連接AP，BP，CP
方法（二）化歸：如圖，通過MN在等邊△ABC中構造符合“老題”規(guī)律的等邊△AMN，化“新題”為“老題”，直接利用“老題重現”的結論解決問題．
過點P作MN∥BC，交AB于M，交AC于N，交AH于G．

【提煉運用】
已知：點P是等邊△ABC內任意一點，設到三邊的距離分別為a、b、c，且使得以a、b、c為邊能夠構成三角形．
請在圖中畫出滿足條件的點P一切可能的位置，并對這些位置加以說明．

如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“好玩三角形”

（1）請用直尺與圓規(guī)畫一個“好玩三角形”；
（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，，求證：△ABC是“好玩三角形”；
（3）如圖2，已知菱形ABCD的邊長為a, ∠ABC=2β，點P，Q從點A同時出發(fā)，以相同的速度分別沿折線AB－BC和AD－DC向終點C運動，記點P所經過的路程為s
①當β=45°時，若△APQ是“好玩三角形”，試求的值；
②當tanβ的取值在什么范圍內，點P，Q在運動過程中，有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”？請直接寫出tanβ的取值范圍。
（4）本小題為選做題
依據（3）中的條件，提出一個關于“在點P，Q的運動過程中，tanβ的取值范圍與△APQ是“好玩三角形”的個數關系”的真命題（“好玩三角形”的個數限定不能為1）。

如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“好玩三角形”

（1）請用直尺與圓規(guī)畫一個“好玩三角形”；

（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，，求證：△ABC是“好玩三角形”；

（3）如圖2，已知菱形ABCD的邊長為a, ∠ABC=2β，點P，Q從點A同時出發(fā)，以相同的速度分別沿折線AB－BC和AD－DC向終點C運動，記點P所經過的路程為s

①當β=45°時，若△APQ是“好玩三角形”，試求的值；

②當tanβ的取值在什么范圍內，點P，Q在運動過程中，有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”？請直接寫出tanβ的取值范圍。

（4）本小題為選做題

依據（3）中的條件，提出一個關于“在點P，Q的運動過程中，tanβ的取值范圍與△APQ是“好玩三角形”的個數關系”的真命題（“好玩三角形”的個數限定不能為1）。