本題有三個選答題.每題7分.請考生任選2題作答.滿分14分.如果多做.則按所做的前兩題記分.選修4-2:矩陣與變換 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

本題有⑴、⑵、⑶三個選考題,每題7分,請考生任選兩題作答,滿分14分,如果多做,則按所做的前兩題計分.
(1)(本小題滿分7分)選修4—2:矩陣與變換
已知二階矩陣M有特征值及對應(yīng)的一個特征向量,并且矩陣M對應(yīng)的變換將點變換成,求矩陣M。
(2)(本小題滿分7分)選修4—4:坐標系與參數(shù)方程
過點M(3,4),傾斜角為的直線與圓C:為參數(shù))相交于A、B兩點,試確定的值。
(3)(本小題滿分7分)選修4—5:不等式選講
已知實數(shù)滿足,,試確定的最大值。

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本題有⑴、⑵、⑶三個選考題,每題7分,請考生任選兩題作答,滿分14分,如果多做,則按所做的前兩題計分.

(1)(本小題滿分7分)選修4—2:矩陣與變換

已知二階矩陣M有特征值及對應(yīng)的一個特征向量,并且矩陣M對應(yīng)的變換將點變換成,求矩陣M。

(2)(本小題滿分7分)選修4—4:坐標系與參數(shù)方程

過點M(3,4),傾斜角為的直線與圓C:為參數(shù))相交于A、B兩點,試確定的值。

(3)(本小題滿分7分)選修4—5:不等式選講

已知實數(shù)滿足,,試確定的最大值。

 

 

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本題有⑴、⑵、⑶三個選考題,每題7分,請考生任選兩題作答,滿分14分,如果多做,則按所做的前兩題計分.
(1)(本小題滿分7分)選修4—2:矩陣與變換
已知二階矩陣M有特征值及對應(yīng)的一個特征向量,并且矩陣M對應(yīng)的變換將點變換成,求矩陣M。
(2)(本小題滿分7分)選修4—4:坐標系與參數(shù)方程
過點M(3,4),傾斜角為的直線與圓C:為參數(shù))相交于A、B兩點,試確定的值。
(3)(本小題滿分7分)選修4—5:不等式選講
已知實數(shù)滿足,試確定的最大值。

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本題有(1)、(2)、(3)三個小題,每題7分,請考生任選2題作答,滿分14分,如果多做,則按所做的前兩題計分
(1)已知
10
12
B=
-43
4-1
,求矩陣B.
(2)已知極點與原點重合,極軸與x軸正半軸重合,若曲線C1的極坐標方程為:ρcos(θ-
π
4
)=
2
,曲線C2的參數(shù)方程為:
x=2cosθ
y=
3
sinθ
(θ為參數(shù)),試求曲線C1、C2的交點的直角坐標.
(3)已知x2+2y2+3z2=
18
17
,求3x+2y+z的最小值.

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本題有(1)、(2)、(3)三個選考題,每題7分,請考生任選2題作答,滿分14分.如果多做,則按所做的前兩題計分
(1)二階矩陣M對應(yīng)的變換將向量
1
-1
,
-2
1
分別變換成向量
3
-2
,
-2
1
,直線l在M的變換下所得到的直線l′的方程是2x-y-1=0,求直線l的方程.
(2)過點P(-3,0)且傾斜角為30°的直線l和曲線C:
x=s+
1
s
y=s-
1
s
(s為參數(shù))相交于A,B兩點,求線段AB的長.
(3)若不等式|a-1|≥x+2y+2z,對滿足x2+y2+z2=1的一切實數(shù)x,y,z恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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說明:

    一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力,并給出了一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與本解答不同,可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標準制定相應(yīng)的評分細則.

    二、對計算題,當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時,如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度,可視影響的程度決定后繼部分的給分,但不得超過該部分正確解答應(yīng)給分數(shù)的一半;如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤,就不再給分.

    三、解答右端所注分數(shù),表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分數(shù).

    四、只給整數(shù)分數(shù),選擇題和填空題不給中間分.

一、選擇題:本題考查基本知識和基本運算,每小題5分,滿分50分.

1. A        2. C        3. C        4.C     5.D     6.D     7. B        8. D        9. B        10. C

二、填空題:本題考查基本知識和基本運算,每小題4分,滿分20分.

11.  12.38      12.  5      13.  36ec8aac122bd4f6e        14.    6ec8aac122bd4f6e  15. ②③

三、解答題:本大題共6小題,共80分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

16. 本小題主要考查正弦定理、三角函數(shù)的倍角公式、兩角和公式等基本知識,考

查學生的運算求解能力. 滿分13分.

解:(Ⅰ)由6ec8aac122bd4f6e,知6ec8aac122bd4f6e                   ………………………(2分)

6ec8aac122bd4f6e,得6ec8aac122bd4f6e,

         6ec8aac122bd4f6e ,6ec8aac122bd4f6e                      ………………………(5分)

6ec8aac122bd4f6e                                   ………………………(6分)

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知6ec8aac122bd4f6e

         6ec8aac122bd4f6e 

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e                  ………………………………(9分)

         6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e

         當6ec8aac122bd4f6e,即6ec8aac122bd4f6e時,6ec8aac122bd4f6e取得最大值為6ec8aac122bd4f6e.   ……………(13分)                               

6ec8aac122bd4f6e17. 本題主要考查線線、線面、面面位置關(guān)系,線面角等基本知識,考查空間想像能力,運算求解能力和推理論證能力. 滿分13分.

6ec8aac122bd4f6e解:(Ⅰ)證明:如圖,取6ec8aac122bd4f6e中點6ec8aac122bd4f6e,連結(jié)6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e,

6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e,

6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e,…………(3分)

四邊形6ec8aac122bd4f6e為平行四邊形,

6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e,

6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e∥平面6ec8aac122bd4f6e.                          ………………………(6分)

(Ⅱ)依題意知平面6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e,

6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e,得6ec8aac122bd4f6e  

6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e.

如圖,以6ec8aac122bd4f6e為原點,建立空間直角坐標系6ec8aac122bd4f6e-xyz,

6ec8aac122bd4f6e,可得6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e、6ec8aac122bd4f6e,

6ec8aac122bd4f6e.

設(shè)平面6ec8aac122bd4f6e的一個法向量為6ec8aac122bd4f6e,

6ec8aac122bd4f6e   得6ec8aac122bd4f6e

解得6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e.             ………………………(9分)

設(shè)線段6ec8aac122bd4f6e上存在一點6ec8aac122bd4f6e,其中6ec8aac122bd4f6e,則6ec8aac122bd4f6e,

6ec8aac122bd4f6e,

依題意:6ec8aac122bd4f6e,即6ec8aac122bd4f6e

可得6ec8aac122bd4f6e,解得6ec8aac122bd4f6e(舍去).  

             所以6ec8aac122bd4f6e上存在一點6ec8aac122bd4f6e.   …………(13分)

18.本題主要考查函數(shù)與導數(shù)等基本知識,考查運用數(shù)學知識分析問題與解決問題的能力,

考查應(yīng)用意識. 滿分13分.

    解:(Ⅰ)依題意,

銷售價提高后為6000(1+6ec8aac122bd4f6e)元/臺,月銷售量為6ec8aac122bd4f6e臺……………(2分)

6ec8aac122bd4f6e               ……………………(4分)

6ec8aac122bd4f6e.       ……………………(6分)

   (Ⅱ)6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e,得6ec8aac122bd4f6e,

解得6ec8aac122bd4f6e舍去).                      ……………………(9分)

6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e時,6ec8aac122bd4f6e取得最大值.

此時銷售價為6ec8aac122bd4f6e元.

答:筆記本電腦的銷售價為9000元時,電腦企業(yè)的月利潤最大.…………………(13分)

6ec8aac122bd4f6e19.本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的解法等基本知識,考查運算求解能力和分析問題、解決問題的能力. 滿分13分

解:(Ⅰ)因為橢圓6ec8aac122bd4f6e的一個焦點是(1,0),所以半焦距6ec8aac122bd4f6e=1.

因為橢圓兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形.

所以6ec8aac122bd4f6e,解得6ec8aac122bd4f6e

所以橢圓的標準方程為6ec8aac122bd4f6e.  …(4分)                

6ec8aac122bd4f6e(Ⅱ)(i)設(shè)直線6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e聯(lián)立并消去6ec8aac122bd4f6e得:6ec8aac122bd4f6e.

6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e,

6ec8aac122bd4f6e,

6ec8aac122bd4f6e.  ……………(5分)

A關(guān)于6ec8aac122bd4f6e軸的對稱點為6ec8aac122bd4f6e,得6ec8aac122bd4f6e,

根據(jù)題設(shè)條件設(shè)定點為6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e,0),

6ec8aac122bd4f6e,即6ec8aac122bd4f6e.

所以6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

即定點6ec8aac122bd4f6e(1 , 0).                 ……………………………………(8分)

(ii)由(i)中判別式6ec8aac122bd4f6e,解得6ec8aac122bd4f6e.    

可知直線6ec8aac122bd4f6e過定點6ec8aac122bd4f6e (1,0).

所以6ec8aac122bd4f6e          ……………(10分)

6ec8aac122bd4f6e,  令6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e,得6ec8aac122bd4f6e,當6ec8aac122bd4f6e時,6ec8aac122bd4f6e.

6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e上為增函數(shù).

所以6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e.

故△OA1B的面積取值范圍是6ec8aac122bd4f6e.                     ……………(13分)

20. 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、等差數(shù)列、不等式等基本知識,考查運用合理的推理證明解

決問題的方法,考查分類與整合及化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想. 滿分14分.

解:(Ⅰ)因為6ec8aac122bd4f6e,

所以6ec8aac122bd4f6e.           ………………(1分)

(i)當6ec8aac122bd4f6e時,6ec8aac122bd4f6e.

(ii)當6ec8aac122bd4f6e時,由6ec8aac122bd4f6e,得到6ec8aac122bd4f6e,知在6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e.

(iii)當6ec8aac122bd4f6e時,由6ec8aac122bd4f6e,得到6ec8aac122bd4f6e,知在6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e.

綜上,當6ec8aac122bd4f6e時,6ec8aac122bd4f6e遞增區(qū)間為6ec8aac122bd4f6e;當6ec8aac122bd4f6e時, 6ec8aac122bd4f6e遞增區(qū)間為6ec8aac122bd4f6e.                   ………………………………………(4分)

(Ⅱ)(i)因為6ec8aac122bd4f6e

所以6ec8aac122bd4f6e,即6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e,即6ec8aac122bd4f6e.     ……………………………………(6分)

因為6ec8aac122bd4f6e,

6ec8aac122bd4f6e時,6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e時,6ec8aac122bd4f6e,

所以6ec8aac122bd4f6e.                  …………………………(8分)

又因為6ec8aac122bd4f6e

所以令6ec8aac122bd4f6e,則6ec8aac122bd4f6e

得到6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e矛盾,所以6ec8aac122bd4f6e不在數(shù)列6ec8aac122bd4f6e中.    ………(9分)

(ii)充分性:若存在整數(shù)6ec8aac122bd4f6e,使6ec8aac122bd4f6e.

設(shè)6ec8aac122bd4f6e為數(shù)列6ec8aac122bd4f6e中不同的兩項,則6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e.

6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e,所以6ec8aac122bd4f6e.

6ec8aac122bd4f6e是數(shù)列6ec8aac122bd4f6e的第6ec8aac122bd4f6e項.           ……………………(10分)

必要性:若數(shù)列6ec8aac122bd4f6e中任意不同兩項之和仍為數(shù)列6ec8aac122bd4f6e中的項,

6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e,(6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e為互不相同的正整數(shù))

6ec8aac122bd4f6e,令6ec8aac122bd4f6e,

得到6ec8aac122bd4f6e 6ec8aac122bd4f6e,

所以6ec8aac122bd4f6e,令整數(shù)6ec8aac122bd4f6e,所以6ec8aac122bd4f6e. ……(11 分)

下證整數(shù)6ec8aac122bd4f6e

若設(shè)整數(shù)6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e.令6ec8aac122bd4f6e,

由題設(shè)取6ec8aac122bd4f6e使6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e,所以6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e相矛盾,所以6ec8aac122bd4f6e.

綜上, 數(shù)列6ec8aac122bd4f6e中任意不同兩項之和仍為數(shù)列6ec8aac122bd4f6e中的項的充要條件是存在整數(shù)6ec8aac122bd4f6e,使6ec8aac122bd4f6e.                          ……………………(14分)

21. (1)本題主要考查矩陣乘法、逆矩陣與變換等基本知識,考查運算求解能力, 滿分7分.

解:6ec8aac122bd4f6e ,即6ec8aac122bd4f6e ,

所以6ec8aac122bd4f6e  得6ec8aac122bd4f6e              ……………………(4分)

     即M=6ec8aac122bd4f6e 6ec8aac122bd4f6e  ,6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e 6ec8aac122bd4f6e.

6ec8aac122bd4f6e 6ec8aac122bd4f6e=16ec8aac122bd4f6e , 6ec8aac122bd4f6e 6ec8aac122bd4f6e.           …………………(7分)

(2)本題主要考查圓極坐標方程和直線參數(shù)方程等基本知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想. 滿分7分.

解:曲線6ec8aac122bd4f6e的極坐標方程6ec8aac122bd4f6e可化為6ec8aac122bd4f6e,

其直角坐標方程為6ec8aac122bd4f6e,即6ec8aac122bd4f6e.      ……………(2分)

直線6ec8aac122bd4f6e的方程為6ec8aac122bd4f6e.

所以,圓心到直線6ec8aac122bd4f6e的距離6ec8aac122bd4f6e          ……………………(5分)

所以,6ec8aac122bd4f6e的最小值為6ec8aac122bd4f6e.                  …………………………(7分)

(3)本題主要考查柯西不等式與不等式解法等基本知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想. 滿分7分.

解:由柯西不等式:

6ec8aac122bd4f6


同步練習冊答案