定義：將一個數(shù)列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列．
已知無窮等比數(shù)列{a_n}的首項、公比均為．
（1）試求無窮等比子數(shù)列{a_3k-1}（k∈N^*）各項的和；
（2）是否存在數(shù)列{a_n}的一個無窮等比子數(shù)列，使得它各項的和為？若存在，求出滿足條件的子數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由；
（3）試設(shè)計一個數(shù)學(xué)問題，研究：是否存在數(shù)列{a_n}的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其各項和之間滿足某種關(guān)系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結(jié)論．

20090116

答案

A

C

B

B

三、解答題：（12’＋14’＋15’＋16’＋22’＝79’）

16．（理）解：設(shè)為橢圓上的動點，由于橢圓方程為，故．

因為，所以

    推出．

依題意可知，當時，取得最小值．而，

故有，解得．

又點在橢圓的長軸上，即．故實數(shù)的取值范圍是．

17．解：（1）當時，；

當且時，；

當時，；（不單獨分析時的情況不扣分）

當時，．

（2）由（1）知：當時，集合中的元素的個數(shù)無限；

當時，集合中的元素的個數(shù)有限，此時集合為有限集．

因為，當且僅當時取等號，

所以當時，集合的元素個數(shù)最少．

此時，故集合．

18．（本題滿分15分，第1小題7分，第2小題8分）

解：（1）如圖，建立空間直角坐標系．不妨設(shè)．

依題意，可得點的坐標，，．

    于是，，．

   由，則異面直線與所成角的

大小為．

（2）解：連結(jié)． 由，

是的中點，得;

由面，面，得．

又，因此面

由直三棱柱的體積為．可得．

所以，四棱錐的體積為

．

19．解：（1）根據(jù)三條規(guī)律，可知該函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為12．

由此可得，；

由規(guī)律②可知，，

；

又當時，，

所以，，由條件是正整數(shù)，故取．

    綜上可得，符合條件．

（2） 解法一：由條件，，可得

，

，

，．

因為，，所以當時，，

故，即一年中的7，8，9，10四個月是該地區(qū)的旅游“旺季”．

解法二：列表，用計算器可算得

月份

…

6

7

8

9

10

11

…

人數(shù)

…

383

463

499

482

416

319

…

故一年中的7，8，9，10四個月是該地區(qū)的旅游“旺季”．

20．解：（1）依條件得： 則無窮等比數(shù)列各項的和為：

     ；

  （2）解法一：設(shè)此子數(shù)列的首項為，公比為，由條件得：，

則，即    

而  則 .

所以，滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，它的首項、公比均為，

其通項公式為，.

解法二：由條件，可設(shè)此子數(shù)列的首項為，公比為．

由………… ①

又若，則對每一

都有………… ②

從①、②得；

則；

因而滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，此子數(shù)列是首項、公比均為無窮等比子

數(shù)列，通項公式為，．

（3）以下給出若干解答供參考，評分方法參考本小題閱卷說明：

問題一：是否存在數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項的和互為倒數(shù)？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由．

解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使它們的各項和之積為1。設(shè)這兩個子數(shù)列的首項、公比分別為和，其中且或，則

，

因為等式左邊或為偶數(shù)，或為一個分數(shù)，而等式右邊為兩個奇數(shù)的乘積，還是一個奇數(shù)。故等式不可能成立。所以這樣的兩個子數(shù)列不存在。

【以上解答屬于層級3，可得設(shè)計分4分，解答分6分】

問題二：是否存在數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項的和相等？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由．

解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使它們的各項和相等。設(shè)這兩個子數(shù)列的首項、公比分別為和，其中且或，則

………… ①

若且，則①，矛盾；若且，則①

，矛盾；故必有且，不妨設(shè)，則

①………… ②

1當時，②，等式左邊是偶數(shù)，

右邊是奇數(shù)，矛盾；

2當時，②

或

，

兩個等式的左、右端的奇偶性均矛盾；

綜合可得，不存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們的各項和相等。

【以上解答屬于層級4，可得設(shè)計分5分，解答分7分】

問題三：是否存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由．

解：假設(shè)存在滿足條件的原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列。設(shè)這兩個子數(shù)列的首項、公比分別為和，其中且或，則

，

顯然當時，上述等式成立。例如取，，得：

第一個子數(shù)列：，各項和；第二個子數(shù)列：，

各項和，有，因而存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍。

【以上解答屬層級3，可得設(shè)計分4分，解答分6分．若進一步分析完備性，可提高一個層級評分】

問題四：是否存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍？并說明理由．解（略）：存在。

問題五：是否存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍？并說明理由．解（略）：不存在．

【以上問題四、問題五等都屬于層級4的問題設(shè)計，可得設(shè)計分5分。解答分最高7分】