(Ⅱ)證明:對(duì)一切.都有成立. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（1）證明下列命題：
已知函數(shù)f（x）=kx+p及實(shí)數(shù)m，n（m＜n），若f（m）＞0，f（n）＞0，則對(duì)于一切實(shí)數(shù)x∈（m，n）都有f（x）＞0．
（2）利用（1）的結(jié)論解決下列各問題：
①若對(duì)于-6≤x≤4，不等式2x+20＞k2x+16k恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
②a，b，c∈R，且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求證：ab+bc+ca＞-1．

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已知數(shù)列{an}和{bn}，對(duì)一切正整數(shù)n都有：a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=3n+1-2n-3成立．
（Ⅰ）如果數(shù)列{bn}為常數(shù)列，bn=1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）如果數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n，求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列．
（Ⅲ）如果數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，數(shù)列{an}是否是等差數(shù)列？如果是，求出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；如果不是，請(qǐng)說明理由．

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已知數(shù)列{an}和{bn}，對(duì)一切正整數(shù)n都有：a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=3n+1-2n-3成立．
（Ⅰ）如果數(shù)列{bn}為常數(shù)列，bn=1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）如果數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n，求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列．
（Ⅲ）如果數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，數(shù)列{an}是否是等差數(shù)列？如果是，求出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；如果不是，請(qǐng)說明理由．

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如果正數(shù)數(shù)列{an}滿足：對(duì)任意的正數(shù)M，都存在正整數(shù)n0，使得an0＞M，則稱數(shù)列{an}是一個(gè)無界正數(shù)列．
（Ⅰ）若an=3+2sin（n）（n=1，2，3，…），bn=
1
n
n=1，3，5，…
n+1
2
n=2，4，6，…
分別判斷數(shù)列{an}、{bn}是否為無界正數(shù)列，并說明理由；
（Ⅱ）若an=n+2，是否存在正整數(shù)k，使得對(duì)于一切n≥k，有
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
＜n-
1
2
成立；
（Ⅲ）若數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的無界正數(shù)列，求證：存在正整數(shù)m，使得
a1
a2
+
a2
a3
+…+
am
am+1
＜m-2009．

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已知正項(xiàng)數(shù)列中，對(duì)于一切的均有成立。

（1）證明：數(shù)列中的任意一項(xiàng)都小于1；

（2）探究與的大小，并證明你的結(jié)論.

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一、BCBBA    BCDCB    DB

二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13        14 ..4        15.      16. （2，3）

三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17. （本大題共10分）

解：由于y=2x是增函數(shù)，等價(jià)于

.    ①…………………………………  2分

    (i) 當(dāng)x≥1時(shí)，|x+1|－|(x－1)|=2.…………………………………… 5分

∴①式恒成立.

    (ii) 當(dāng)－1<x<1時(shí)，|x+1|－|x－1|=2x，

①式化為即………………………………… 8分

    (iii)當(dāng)x≤－1時(shí)，|x+1|－|x－1|=－2,

①式無解.

綜上， x取值范圍是.………………………………     10分

18. （本小題滿分12分）

．解：（1），，且.

，即，又，……..2分

又由，                            5分

   （2）由正弦定理得：，               7分

又，

…………9分

，則.則，

即的取值范圍是…………………                   12分

19.（本小題滿分12分）

（1）解：設(shè)“射手射擊1次，擊中目標(biāo)”為事件A

則在3次射擊中至少有兩次連續(xù)擊中目標(biāo)的概率

=                     7分

（2）解：射手第3次擊中目標(biāo)時(shí)，恰好射擊了4次的概率

                              12分

20. (本小題滿分12分)

（Ⅰ）解：，令，得.          2分

0

增

極大值

減

由上圖表知：

的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

的極大值為.                                5分

   （Ⅱ）證明：對(duì)一切，都有成立

則有

由（Ⅰ）知，的最大值為，

并且成立，                                    8分

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，

函數(shù)的最小值大于等于函數(shù)的最大值，

但等號(hào)不能同時(shí)成立.

    所以，對(duì)一切，都有成立.        12分

21．（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解：由已知：對(duì)于，總有 ①成立

∴   （n ≥ 2）②  

①--②得

∴

∵均為正數(shù)，∴   （n ≥ 2）

∴數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列                

又n=1時(shí)，， 解得=1

∴.()                         ……………4分

（Ⅱ）(解法一)由已知  ，      

        

        易得　

        猜想 n≥2 時(shí)，是遞減數(shù)列.             

令

∵當(dāng)

∴在內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù).

由.

∴n≥2 時(shí), 是遞減數(shù)列.即是遞減數(shù)列.

又 , ∴數(shù)列中的最大項(xiàng)為.    ……………   6分

 (解法二) 猜測(cè)數(shù)列中的最大項(xiàng)為. 

易直接驗(yàn)證;

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明n≥3 時(shí),

       (1)當(dāng)時(shí), , 所以時(shí)不等式成立;

       (2)假設(shè)時(shí)不等式成立,即,即,

當(dāng)時(shí), ,

所以,即時(shí)不等式成立.

由(1)(2)知對(duì)一切不小于3的正整數(shù)都成立.

……………      8分

(Ⅲ)(解法一)當(dāng)時(shí),可證:          …………… 10分

   ……………        12分

  (解法二) 時(shí),  ……8分

   

                                             …………… 12分

注:也可分段估計(jì),轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和(也可加強(qiáng)命題,使用數(shù)學(xué)歸納法)

 

22．（本小題滿分12分）

解：（I）由

       故的方程為點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）                      2分

       設(shè)

       由

       整理                                                4分

    動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C為以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，

長軸長為，短軸長為2的橢圓。                               5分

（II）如圖，由題意知的斜率存在且不為零，                            

       設(shè)方程為①

       將①代入，整理，得

                  7分

       設(shè)、，

       則  ②

       令

       由此可得

       由②知

      

       ，

       即                                          10分

      

      

       解得

       又

       面積之比的取值范圍是            12分

 

 

 

 

 

 


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