函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系: 一般的.一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間I上單調(diào)增(減)是指:對(duì)于區(qū)間I內(nèi)任意兩個(gè)值x1,x2,x1<x2,有f(x1)<f(x2), 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果(x)＞0，那么函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)________；如果________，那么函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．

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一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果(x)＞0，那么函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)_________；如果_________，那么函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)_________．

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導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性之間具有如下的關(guān)系：

如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)________，則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)是________．

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已知函數(shù)f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）求n，m的關(guān)系式并求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)0＜x1＜x2＜1，關(guān)于x的方程：f′(x)-
f(x2)-f(x1)
x2-x1
=0在（x1，x2）恒有實(shí)數(shù)解
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間（a，b）內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)x0，使得f′(x0)=
f(b)-f(a)
b-a
．如我們所學(xué)過(guò)的指、對(duì)數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件．試用拉格朗日中值定理證明：
當(dāng)0＜a＜b時(shí)，
b-a
b
＜ln
b
a
＜
b-a
a
（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）．

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（本小題滿分12分）

已知函數(shù)；

（1）求;         （2）求的最大值與最小值.

【解析】第一問(wèn)利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，可得。

第二問(wèn)中，利用第一問(wèn)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為零，得到

然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的關(guān)系判定函數(shù)的單調(diào)性，求解最值即可。

 

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