題目列表(包括答案和解析)
橢圓的離心率為,橢圓的上頂點到左焦點的距離為,左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線y=kx+t(t>0)與以F1F2為直徑的圓相切,并與橢圓C交于A,B兩點,向量在向量方向上的投影是p,且(·)p2=m(O為坐標原點),求m與k的關系式;
(3)在(2)的情形下,當時,求△ABO面積的取值范圍.
已知橢圓的離心率為,直線:與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設橢圓的左焦點為,右焦點,直線過點且垂直于橢圓的長軸,動直線垂
直于點,線段垂直平分線交于點,求點的軌跡的方程;
(3)當P不在軸上時,在曲線上是否存在兩個不同點C、D關于對稱,若存在,
求出的斜率范圍,若不存在,說明理由。
已知橢圓的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.
(Ⅰ)求橢圓的方程;(4分)
(Ⅱ)若過點(2,0)的直線與橢圓相交于兩點,設為橢圓上一點,且滿足
(為坐標原點),當< 時,求實數(shù)的取值范圍.(8分)
一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,計70分.
1. 2. 3. 4.25 5. 6.
7. 8.③ 9.6 10.50%(填0.5,都算對)
11. 12.< 13.12 14.或
二、解答題:本大題共6小題,計90分.
15.解:(Ⅰ)當時,點P共有28個,而滿足的點P有19個,
從而所求的概率為………………………………………………………………………(7分)
(Ⅱ)當時,由構成的矩形的面積為,而滿足
的區(qū)域的面積為,故所求的概率為……………………………………(14分)
16.證:(Ⅰ)連接交于,連接.
∵分別是的中點,∴∥且=,∴四邊形是矩形.
∴是的中點………………………………………………………………………………(3分)
又∵是的中點,∴∥……………………………………………………………(5分)
則由,,得∥………………………………………(7分)
(注:利用面面平行來證明的,類似給分)
(Ⅱ) ∵在直三棱柱中,⊥底面,∴⊥.
又∵,即⊥,∴⊥面………………………(9分)
而面,∴⊥……………………………………………………………(12分)
又,∴平面……………………………………………………………(14分)
17. 解:(Ⅰ)由,得
,所以………………………………………………(4分)
則,所以……………………………………………………(7分)
(Ⅱ)方案一:選擇①③.
∵A=30°,a=1,
得,解得b=,則c=…………………(11分)
∴…………………………………(14分)
方案二:選擇②③. 可轉化為選擇①③解決,類似給分.
(注:選擇①②不能確定三角形)
18. 解:(Ⅰ),即,
,準線,……………………………………………………(2分)
設⊙C的方程為,將O、F、A三點坐標代入得:
,解得………………………………………………………(4分)
∴⊙C的方程為……………………………………………………(5分)
(Ⅱ)設點B坐標為,則,整理得:
對任意實數(shù)都成立……………………………………………(7分)
∴,解得或,
故當變化時,⊙C經(jīng)過除原點O外的另外一個定點B……………………………(10分)
(Ⅲ)由B、、得,
∴,解得……………………………………………(12分)
又 ,∴………………………………………………………………(14分)
又橢圓的離心率()……………………(15分)
∴橢圓的離心率的范圍是………………………………………………………(16分)
19. (Ⅰ)證:因為對任意正整數(shù),總成立,
令,得,則…………………………………………(1分)
令,得 (1) , 從而 (2),
(2)-(1)得,…………………………………………………………………(3分)
綜上得,所以數(shù)列是等比數(shù)列…………………………………………(4分)
(Ⅱ)正整數(shù)成等差數(shù)列,則,所以,
則……………………………………………………(7分)
①當時,………………………………………………………………(8分)
②當時,…………………………(9分)
③當時,……………………(10分)
(Ⅲ)正整數(shù)成等比數(shù)列,則,則,
所以,……………(13分)
①當,即時,……………………………………………(14分)
②當,即時,………………………………(15分)
③當,即時,………………………………(16分)
20. 解: (Ⅰ)當時,.
因為當時,,,
且,
所以當時,,且……………………………………(3分)
由于,所以,又,
故所求切線方程為,
即…………………………………………………………………(5分)
(Ⅱ) 因為,所以,則
當時,因為,,
所以由,解得,
從而當時, ……………………………………………(6分)
① 當時,因為,,
所以由,解得,
從而當時, …………………………………………(7分)
③當時,因為,
從而 一定不成立………………………………………………………………(8分)
綜上得,當且僅當時,,
故 …………………………………………(9分)
從而當時,取得最大值為…………………………………………………(10分)
(Ⅲ)“當時,”等價于“對恒成立”,
即“(*)對恒成立” ……………………………………(11分)
① 當時,,則當時,,則(*)可化為
,即,而當時,,
所以,從而適合題意………………………………………………………………(12分)
② 當時,.
⑴ 當時,(*)可化為,即,而,
所以,此時要求
…………………………………………………………(13分)
⑵ 當時,(*)可化為,
所以,此時只要求………………………………………………………(14分)
(3)當時,(*)可化為,即,而,
所以,此時要求…………………………………………………………(15分)
由⑴⑵⑶,得符合題意要求.
綜合①②知,滿足題意的存在,且的取值范圍是………………………………(16分)
數(shù)學附加題部分
21.A.解:因為PA與圓相切于點A,所以.而M為PA的中點,
所以PM=MA,則.
又,所以,所以……………………(5分)
在中,由,
即,所以,
從而……………………………………………………………………………(10分)
B.解:,所以=……………………………(5分)
即在矩陣的變換下有如下過程,,
則,即曲線在矩陣的變換下的解析式為……(10分)
C.解:由題設知,圓心,故所求切線的直角坐標方程
為……………………………………………………………………………(6分)
從而所求切線的極坐標方程為………………………………(10分)
D.證:因為,利用柯西不等式,得…………………………(8分)
即………………………………………………………………………(10分)
22.解: (Ⅰ)以A為原點,AB、AC、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系A-xyz,
則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0),P(0,0,1),
所以,……………………………(4分)
故異面直線BE與PC所成角的余弦值為……………………………………(5分)
(Ⅱ)作PM⊥BE交BE(或延長線)于M,作CN⊥BE交BE(或延長線)于N,
則存在實數(shù)m、n,使得,即
因為,所以
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