(Ⅰ)求角的大小, 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

某小區(qū)規(guī)劃一塊周長為2a(a為正常數(shù))的矩形停車場,其中如圖所示的直角三角形ADP內(nèi)為綠化區(qū)域.且∠PAC=∠CAB.設(shè)矩形的長AB=x,AB>AD
(1)求線段DP的長關(guān)于x的函數(shù)l(x)表達(dá)式并指出定義域;
(2)應(yīng)如何規(guī)劃矩形的長AB,使得綠化面積最大?

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(本小題12分)設(shè)函數(shù).

(1)求函數(shù)的最大值和最小正周期;

設(shè)A,B,C為的三個內(nèi)角,若且C為銳角,求.

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(意大利餡餅問題)山姆的意大利餡餅屋中設(shè)有一個投鏢靶 該靶為正方形板.邊長為18厘米,掛于前門附近的墻上,顧客花兩角伍分的硬幣便可投一鏢并可有機(jī)會贏得一種意大利餡餅中的一個,投鏢靶中畫有三個同心圓,圓心在靶的中心,當(dāng)投鏢擊中半徑為1厘米的最內(nèi)層圓域時(shí).可得到一個大餡餅;當(dāng)擊中半徑為1厘米到2厘米之間的環(huán)域時(shí),可得到一個中餡餅;如果擊中半徑為2厘米到3厘米之間的環(huán)域時(shí),可得到一個小餡餅,如果擊中靶上的其他部分,則得不到諂餅,我們假設(shè)每一個顧客都能投鏢中靶,并假設(shè)每個圓的周邊線沒有寬度,即每個投鏢不會擊中線上,試求一顧客將嬴得:

(a)一張大餡餅,

(b)一張中餡餅,

(c)一張小餡餅,

(d)沒得到餡餅的概率

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(本小題滿分12分)

有一塊邊長為6m的正方形鋼板,將其四個角各截去一個邊長為x的小正方形,然后焊接成一個無蓋的蓄水池。

(Ⅰ)寫出以x為自變量的容積V的函數(shù)解析式V(x),并求函數(shù)V(x)的定義域;

(Ⅱ)指出函數(shù)V(x)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅲ)蓄水池的底邊為多少時(shí),蓄水池的容積最大?最大容積是多少?

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(本小題滿分12分) 已知向量,,.
(1)若求向量的夾角;
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最大值。

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一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,計(jì)70分.

1.         2.       3.         4.25         5.         6.

7.            8.③               9.6              10.50%(填0.5,都算對)

11.          12.<              13.12             14.

二、解答題:本大題共6小題,計(jì)90分.

15.解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),點(diǎn)P共有28個,而滿足的點(diǎn)P有19個,

從而所求的概率為………………………………………………………………………(7分)

   (Ⅱ)當(dāng)時(shí),由構(gòu)成的矩形的面積為,而滿足

的區(qū)域的面積為,故所求的概率為……………………………………(14分)

16.證:(Ⅰ)連接,連接.

分別是的中點(diǎn),∴=,∴四邊形是矩形.

的中點(diǎn)………………………………………………………………………………(3分)

又∵的中點(diǎn),∴……………………………………………………………(5分)

則由,,得………………………………………(7分)

(注:利用面面平行來證明的,類似給分)

(Ⅱ) ∵在直三棱柱中,⊥底面,∴.

又∵,即,∴⊥面………………………(9分)

,∴……………………………………………………………(12分)

,∴平面……………………………………………………………(14分)

17. 解:(Ⅰ)由,得

,所以………………………………………………(4分)

,所以……………………………………………………(7分)

   (Ⅱ)方案一:選擇①③.

∵A=30°,a=1,2c-(+1)b=0,所以,則根據(jù)余弦定理,

,解得b=,則c=…………………(11分)

…………………………………(14分)

方案二:選擇②③. 可轉(zhuǎn)化為選擇①③解決,類似給分.

(注:選擇①②不能確定三角形)

18. 解:(Ⅰ),即,

  ,準(zhǔn)線,……………………………………………………(2分)

  設(shè)⊙C的方程為,將O、F、A三點(diǎn)坐標(biāo)代入得:

,解得………………………………………………………(4分)

∴⊙C的方程為……………………………………………………(5分)

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為,則,整理得:

對任意實(shí)數(shù)都成立……………………………………………(7分)

,解得,

故當(dāng)變化時(shí),⊙C經(jīng)過除原點(diǎn)O外的另外一個定點(diǎn)B……………………………(10分)

(Ⅲ)由B、,

 ∴,解得……………………………………………(12分)

   又 ,∴………………………………………………………………(14分)

又橢圓的離心率)……………………(15分)

 ∴橢圓的離心率的范圍是………………………………………………………(16分)

19. (Ⅰ)證:因?yàn)閷θ我庹麛?shù),總成立,

,得,則…………………………………………(1分)

,得  (1) , 從而   (2),

(2)-(1)得,…………………………………………………………………(3分)

綜上得,所以數(shù)列是等比數(shù)列…………………………………………(4分)

(Ⅱ)正整數(shù)成等差數(shù)列,則,所以,

……………………………………………………(7分)

①當(dāng)時(shí),………………………………………………………………(8分)

②當(dāng)時(shí),…………………………(9分)

③當(dāng)時(shí),……………………(10分)

(Ⅲ)正整數(shù)成等比數(shù)列,則,則,

所以,……………(13分)

①當(dāng),即時(shí),……………………………………………(14分)

②當(dāng),即時(shí),………………………………(15分)

③當(dāng),即時(shí),………………………………(16分)

20. 解: (Ⅰ)當(dāng)時(shí),.

因?yàn)楫?dāng)時(shí),,,

,

所以當(dāng)時(shí),,且……………………………………(3分)

由于,所以,又,

故所求切線方程為,

…………………………………………………………………(5分)

   (Ⅱ) 因?yàn)?sub>,所以,則  

                                                          

  

當(dāng)時(shí),因?yàn)?sub>,,

所以由,解得,

從而當(dāng)時(shí), ……………………………………………(6分)

①     當(dāng)時(shí),因?yàn)?sub>,,

所以由,解得,

從而當(dāng)時(shí), …………………………………………(7分)

③當(dāng)時(shí),因?yàn)?sub>,

從而 一定不成立………………………………………………………………(8分)

綜上得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,

…………………………………………(9分)

從而當(dāng)時(shí),取得最大值為…………………………………………………(10分)

(Ⅲ)“當(dāng)時(shí),”等價(jià)于“恒成立”,

即“(*)對恒成立” ……………………………………(11分)

①     當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),,則(*)可化為

,即,而當(dāng)時(shí),,

所以,從而適合題意………………………………………………………………(12分)

②     當(dāng)時(shí),.

⑴     當(dāng)時(shí),(*)可化為,即,而,

所以,此時(shí)要求

 

…………………………………………………………(13分)

⑵        當(dāng)時(shí),(*)可化為,

所以,此時(shí)只要求………………………………………………………(14分)

(3)當(dāng)時(shí),(*)可化為,即,而,

所以,此時(shí)要求…………………………………………………………(15分)

由⑴⑵⑶,得符合題意要求.

 綜合①②知,滿足題意的存在,且的取值范圍是………………………………(16分)

 

 

數(shù)學(xué)附加題部分

21.A.解:因?yàn)镻A與圓相切于點(diǎn)A,所以.而M為PA的中點(diǎn),

所以PM=MA,則.

,所以,所以……………………(5分)

中,由,

,所以,

從而……………………………………………………………………………(10分)

B.解:,所以=……………………………(5分)

即在矩陣的變換下有如下過程,,

,即曲線在矩陣的變換下的解析式為……(10分)

C.解:由題設(shè)知,圓心,故所求切線的直角坐標(biāo)方程

……………………………………………………………………………(6分)

      從而所求切線的極坐標(biāo)方程為………………………………(10分)

D.證:因?yàn)?sub>,利用柯西不等式,得…………………………(8分)

  即………………………………………………………………………(10分)

22.解: (Ⅰ)以A為原點(diǎn),AB、AC、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0),P(0,0,1),

所以,……………………………(4分)

故異面直線BE與PC所成角的余弦值為……………………………………(5分)

(Ⅱ)作PM⊥BE交BE(或延長線)于M,作CN⊥BE交BE(或延長線)于N,

則存在實(shí)數(shù)m、n,使得,

因?yàn)?sub>,所以

同步練習(xí)冊答案