(Ⅱ)證明:. 北京市東城區(qū)2008-2009學(xué)年度綜合練習(xí)(一) 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（Ⅰ）已知函數(shù)f(x)=
x
x+1
．?dāng)?shù)列{an}滿足：an＞0，a1=1，且
an+1
=f(
an
)，記數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且Sn=
2
2
[
1
an
+(
2
+1)n]．求數(shù)列{bn}的通項公式；并判斷b4+b6是否仍為數(shù)列{bn}中的項？若是，請證明；否則，說明理由．
（Ⅱ）設(shè){cn}為首項是c1，公差d≠0的等差數(shù)列，求證：“數(shù)列{cn}中任意不同兩項之和仍為數(shù)列{cn}中的項”的充要條件是“存在整數(shù)m≥-1，使c1=md”．

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精英家教網(wǎng)如圖，在底面邊長為1，側(cè)棱長為2的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，P是側(cè)棱CC1上的一點，CP=m．
（Ⅰ）試確定m，使直線AP與平面BDD1B1所成角為60°；
（Ⅱ）在線段A1C1上是否存在一個定點Q，使得對任意的m，D1Q⊥AP，并證明你的結(jié)論．

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證明：過拋物線y=a（x-x1）•（x-x2）（a≠0，x1＜x2）上兩點A（x1，0）、B（x2，0）的切線，與x軸所成的銳角相等．

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精英家教網(wǎng)如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，E、F是AA1、AB的中點．
（Ⅰ）證明：直線EE1∥平面FCC1；
（Ⅱ）求二面角B-FC1-C的余弦值．

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等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知對任意的n∈N+，點（n，Sn）均在函數(shù)y=bx+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)的圖象上．
（Ⅰ）求r的值．
（Ⅱ）當(dāng)b=2時，記bn=2（log2an=1）（n∈N+），證明：對任意的，不等式成立
b1+1
b1
•
b2+1
b2
•…
bn+1
bn
＞
n+1
．

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一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1．D      2．A      3．B 　    4．C       5．D　     6．B 　   7．C　     8． A

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

9．點               10．               11. 6 , 60

12．                13．                   14． ,

注：兩個空的填空題第一個空填對得2分，第二個空填對得3分．

三、解答題（本大題共6小題，共80分）

15. （本小題滿分13分）

解:（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為,依題意有,    (1)

又,將(1)代入得.所以.  ……………3分

于是有                             ………………4分

解得或                             ………………6分

又是遞增的,故.                   ………………7分

所以.                                         ………………9分

   (Ⅱ).                                …………………11分

故.                                       ………………13分

16.(本小題滿分13分)

解:（Ⅰ）在△中,由得.

   所以.            …………………5分

（Ⅱ）由得.  ………………………………….9分

又,=;          ………………………11分

于是有,解得.           ……………………………13分

 

17．（本小題滿分14分）

解法一：（Ⅰ）∵正方形，∴

又二面角是直二面角，

∴⊥平面.

∵平面，

∴⊥.

又，，是矩形，是的中點，

∴=，，=，

∴⊥又=，

∴⊥平面，

而平面，故平面⊥平面.          ……………………5分

 （Ⅱ）如圖，由（Ⅰ）知平面⊥平面，且交于，在平面內(nèi)作⊥，垂足為，則⊥平面.

        ∴∠是與平面所成的角.

∴在Rt△中,=.  

 .                            

即與平面所成的角為 .                 ………………………9分

   （Ⅲ）由（Ⅱ），⊥平面.作⊥，垂足為，連結(jié)，則⊥，

        ∴∠為二面角的平面角.                 …………….11分

∵在Rt△中，=，在Rt△中，.

∴在Rt△中，

即二面角的大小為arcsin.    ………………………………14分

解法二：

如圖，以為原點建立直角坐標(biāo)系，

則（0，0，0），（0，2，0），

（0，2，2），（，，0），

（，0，0）.

   （Ⅰ） =（，，0），=（，，0）,

         =（0，0，2），

∴?=（，，0）?（，，0）=0,

 ? =（，，0）?（0，0，2）= 0.

∴⊥，⊥，

∴⊥平面，又平面，故平面⊥平面.     ……5分

   （Ⅱ）設(shè)與平面所成角為.

        由題意可得=（，，0），=（0，2，2 ），=（，，0）.

        設(shè)平面的一個法向量為=（，，1），

        由.

          .

∴與平面所成角的大小為.            ……………..9分

   （Ⅲ）因=（1，－1，1）是平面的一個法向量，

        又⊥平面，平面的一個法向量=（，0，0），

        ∴設(shè)與的夾角為，得，

        ∴二面角的大小為.         ………………………………14分

18. （本小題滿分13分）

解: (Ⅰ)由已知甲射擊擊中8環(huán)的概率為0.2,乙射擊擊中9環(huán)的概率為0.4,則所求事件的概率

       .                                     ………………4分

  (Ⅱ) 設(shè)事件表示“甲運動員射擊一次,擊中9環(huán)以上(含9環(huán))”, 記“乙運動員射擊1次,擊中9環(huán)以上(含9環(huán))”為事件,則

.                           ………………………6分

.                          ………………………8分

“甲、乙兩運動員各自射擊兩次,這4次射擊中恰有3次擊中9環(huán)以上(含9環(huán))”包含甲擊中2次、乙擊中1次,與甲擊中1次、乙擊中2次兩個事件,顯然,這兩個事件互斥.

甲擊中2次、乙擊中1次的概率為

;            ……………………..10分

甲擊中1次、乙擊中2次的概率為

.             …………………12分

所以所求概率為.                      

答: 甲、乙兩運動員各自射擊兩次,這4次射擊中恰有3次擊中9環(huán)以上的概率為.  ……….13分

                                                      

19．（本小題滿分14分）

解: (Ⅰ) 由已知 , 又圓心,則 .故   .

  所以直線與垂直.                        ………………………3分

        (Ⅱ) 當(dāng)直線與軸垂直時,易知符合題意;        ………………4分

當(dāng)直線與軸不垂直時,設(shè)直線的方程為.   …………5分

由于,所以

由,解得.         ………………7分

故直線的方程為或.          ………………8分

         (Ⅲ)當(dāng)與軸垂直時,易得,,又則

,故.                    ………………10分

當(dāng)的斜率存在時,設(shè)直線的方程為,代入圓的方程得

.則

,即,

.又由得,

則.

故.

綜上,的值與直線的斜率無關(guān),且.    …………14分

另解一:連結(jié),延長交于點,由(Ⅰ)知.又于,

故△∽△.于是有.

由得

故               ………………………14分

另解二:連結(jié)并延長交直線于點,連結(jié)由(Ⅰ)知又,

所以四點

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