求證：；

 

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(Ⅰ)求證：；
(Ⅱ)求證：.

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2009年4月

一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分．

1．B    2．A    3．C    4．C    5．B    6．A    7．C    8．A    9．B   10．B

二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分．

11．4                                      12．                                  13．

14．                                  15．①

三、解答題：本題共6小題，共75分．

16．解：(1)  

∴

∵

∴  

∴

(2)  

∴        

∴  

∴  

∴  

17．解：(1) 甲隊以二比一獲勝，即前兩場中甲勝1場，第三場甲獲勝，其概率為

(2) 乙隊以2∶0獲勝的概率為；

乙隊以2∶１獲勝的概率為

∴乙隊獲勝的概率為P₂=P'₂+Ｐ''₂=0.16+0.192=0.352.

18．解：(1) ∵  函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，

∴

∵       ∴  ．

又在處的切線方程為，

由

∴  ，且， ∴  得

(2)

依題意對任意恒成立，   

∴ 對任意恒成立，即對任意恒成立，

∴ ．

19．解法一：(1) 證明：取中點為，連結(jié)、，

               ∵△是等邊三角形， ∴

               又∵側(cè)面底面，

               ∴底面，

               ∴為在底面上的射影，

               又∵，

               ，

               ∴，  ∴，

                ∴，      ∴．

(2) 取中點，連結(jié)、，    

    ∵．    ∴．

又∵，，

∴平面，∴，

∴是二面角的平面角.                  

∵，，

∴．

∴，∴，∴，

∴二面角的大小為                       

解法二：證明：(1) 取中點為，中點為，連結(jié)，

∵△是等邊三角形，∴，

又∵側(cè)面底面，∴底面，

∴以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系

如圖，   

∵，△是等邊三角形，

∴，

∴．

∴．

∵     ∴．

(2) 設(shè)平面的法向量為

∵   ∴

令，則，∴               

設(shè)平面的法向量為，              

∵，∴，

令，則，∴       

∴，

∴，   ∴二面角的大小為.        

20．解：(1) 由題意得，  ①， 

當(dāng)時，，解得，

當(dāng)時，有  ②，

①式減去②式得，

于是，，，

因為，所以，

所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，

所以的通項公式為（）．

(2) 設(shè)存在滿足條件的正整數(shù)，則，，，

又，，…，，，，…，，

所以，，…，均滿足條件，

它們組成首項為，公差為的等差數(shù)列．……（8分）

設(shè)共有個滿足條件的正整數(shù)，則，解得．（10分）

所以，中滿足條件的正整數(shù)存在，共有個，的最小值為．（12分）

21．（Ⅰ）法1：依題意，顯然的斜率存在,可設(shè)直線的方程為

，

整理得 ． ①

設(shè)是方程①的兩個不同的根，

∴，   ②

且，由是線段的中點，得

，∴．

解得，代入②得，的取值范圍是（12，+∞）．

于是，直線的方程為，即   

法2：設(shè)，，則有

依題意，，∴．

∵是的中點，∴，，從而．

又由在橢圓內(nèi)，∴，

∴的取值范圍是．    

直線的方程為，即．   

(2)  ∵垂直平分，∴直線的方程為，即，

代入橢圓方程，整理得．  ③      

又設(shè)，的中點為，則是方程③的兩根，

∴．

到直線的距離，

故所求的以線段的中點為圓心且與直線相切的圓的方程為：

．