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題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分13分)  已知二項(xiàng)式 

（1）求其展開式中第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；

（2）求其展開式中第四項(xiàng)的系數(shù) 。

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(本小題滿分13分)某廠用甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品，1噸B產(chǎn)品分別需要的甲乙原料數(shù)、可獲得的利潤(rùn)及該廠現(xiàn)有原料數(shù)如表：

產(chǎn)品

所需原料

A產(chǎn)品（t）

B產(chǎn)品（t）

現(xiàn)有原料(t)

甲（t）

2

1

14

乙（t）

1

3

18

利潤(rùn)（萬(wàn)元）

5

3

 

(1)在現(xiàn)有原料下，A、B產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少才能使利潤(rùn)最大？

(2)如果1噸B產(chǎn)品的利潤(rùn)增加到20萬(wàn)元，原來(lái)的最優(yōu)解為何改變？

(3)如果1噸B產(chǎn)品的利潤(rùn)減少1萬(wàn)元，原來(lái)的最優(yōu)解為何改變？

(4)1噸B產(chǎn)品的利潤(rùn)在什么范圍，原最優(yōu)解才不會(huì)改變？

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 (本小題滿分13分)

某市物價(jià)局調(diào)查了某種治療H1N1流感的常規(guī)藥品在2009年每個(gè)月的批發(fā)價(jià)格和該藥品在藥店的銷售價(jià)格，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該藥品的批發(fā)價(jià)格按月份以12元/盒為中心價(jià)隨某一正弦曲線上下波動(dòng)，且3月份的批發(fā)價(jià)格最高為14元/盒，7月份的批發(fā)價(jià)格最低為10元/盒.該藥品在藥店的銷售價(jià)格按月份以14元/盒為中心價(jià)隨另一正弦曲線上下波動(dòng)，且5月份的銷售價(jià)格最高為16元/盒，9月份的銷售價(jià)格最低為12元/盒.

（Ⅰ）求該藥品每盒的批發(fā)價(jià)格f(x)和銷售價(jià)格g(x)關(guān)于月份的函數(shù)解析式；

（Ⅱ）假設(shè)某藥店每月初都購(gòu)進(jìn)這種藥品p 盒，且當(dāng)月售完，求該藥店在2009年哪些月份是盈利的？說(shuō)明你的理由.

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(本小題滿分13分) 根據(jù)長(zhǎng)沙市建設(shè)大河西的規(guī)劃，市旅游局?jǐn)M在咸嘉湖建立西湖生態(tài)文化公園. 如圖，設(shè)計(jì)方案中利用湖中半島上建一條長(zhǎng)為的觀光帶AB，同時(shí)建一條連接觀光帶和湖岸的長(zhǎng)為2的觀光游廊BC，且BC與湖岸MN（湖岸可看作是直線）的夾角為60°，BA與BC的夾角為150°，并在湖岸上的D處建一個(gè)觀光亭，設(shè)CD＝xkm(1＜x＜4).

（Ⅰ）用x分別表示tan∠BDC和tan∠ADM；

（Ⅱ）試確定觀光亭D的位置，使得在觀光亭D處觀賞

觀光帶AB的視覺(jué)效果最佳.

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 (本小題滿分13分)

已知橢圓的焦點(diǎn)為F1(－4，0)，F(xiàn)2(4，0)，過(guò)點(diǎn)F2且垂直于軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且|BF1|＋|BF2|＝10，設(shè)點(diǎn)A，C為橢圓上不同兩點(diǎn)，使得|AF2|，|BF2|，|CF2|成等差數(shù)列.

(Ⅰ) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ) 求線段AC的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（Ⅲ）求線段AC的垂直平分線在y軸上的截距的取值范圍.

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2009年4月

一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分．

1．B    2．A    3．C    4．C    5．B    6．A    7．C    8．A    9．B   10．B

二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分．

11．4                                      12．                                  13．

14．                                  15．①

三、解答題：本題共6小題，共75分．

16．解：(1)  

∴

∵

∴  

∴

(2)  

∴        

∴  

∴  

∴  

17．解：(1) 甲隊(duì)以二比一獲勝，即前兩場(chǎng)中甲勝1場(chǎng)，第三場(chǎng)甲獲勝，其概率為

(2) 乙隊(duì)以2∶0獲勝的概率為；

乙隊(duì)以2∶１獲勝的概率為

∴乙隊(duì)獲勝的概率為P2=P'2+Ｐ''2=0.16+0.192=0.352.

18．解：(1) ∵  函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，

∴

∵       ∴  ．

又在處的切線方程為，

由

∴  ，且， ∴  得

(2)

依題意對(duì)任意恒成立，   

∴ 對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，

∴ ．

19．解法一：(1) 證明：取中點(diǎn)為，連結(jié)、，

               ∵△是等邊三角形， ∴

               又∵側(cè)面底面，

               ∴底面，

               ∴為在底面上的射影，

               又∵，

               ，

               ∴，  ∴，

                ∴，      ∴．

(2) 取中點(diǎn)，連結(jié)、，    

    ∵．    ∴．

又∵，，

∴平面，∴，

∴是二面角的平面角.                  

∵，，

∴．

∴，∴，∴，

∴二面角的大小為                       

解法二：證明：(1) 取中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，連結(jié)，

∵△是等邊三角形，∴，

又∵側(cè)面底面，∴底面，

∴以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系

如圖，   

∵，△是等邊三角形，

∴，

∴．

∴．

∵     ∴．

(2) 設(shè)平面的法向量為

∵   ∴

令，則，∴               

設(shè)平面的法向量為，              

∵，∴，

令，則，∴       

∴，

∴，   ∴二面角的大小為.        

20．解：(1) 由題意得，  ①， 

當(dāng)時(shí)，，解得，

當(dāng)時(shí)，有  ②，

①式減去②式得，

于是，，，

因?yàn)?sub>，所以，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，

所以的通項(xiàng)公式為（）．

(2) 設(shè)存在滿足條件的正整數(shù)，則，，，

又，，…，，，，…，，

所以，，…，均滿足條件，

它們組成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．……（8分）

設(shè)共有個(gè)滿足條件的正整數(shù)，則，解得．（10分）

所以，中滿足條件的正整數(shù)存在，共有個(gè)，的最小值為．（12分）

21．（Ⅰ）法1：依題意，顯然的斜率存在,可設(shè)直線的方程為

，

整理得 ． ①

設(shè)是方程①的兩個(gè)不同的根，

∴，   ②

且，由是線段的中點(diǎn)，得

，∴．

解得，代入②得，的取值范圍是（12，+∞）．

于是，直線的方程為，即   

法2：設(shè)，，則有

 

依題意，，∴．

∵是的中點(diǎn)，∴，，從而．

又由在橢圓內(nèi)，∴，

∴的取值范圍是．    

直線的方程為，即．   

(2)  ∵垂直平分，∴直線的方程為，即，

代入橢圓方程，整理得．  ③      

又設(shè)，的中點(diǎn)為，則是方程③的兩根，

∴．

到直線的距離，

故所求的以線段的中點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓的方程為：

．

 


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