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如圖，在正三棱柱中，是的中點，是線段上的動點，且
(1)若，求證：；
(2) 求二面角的余弦值；
(3) 若直線與平面所成角的大小為，求的最大值.

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一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分。

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

A

B

D

C

D

C

B

二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分

9．60   10. 4    11.    12. 2    13.與 或 與  14. -2；1

三、解答題： 本大題共6個小題，共80分。

15. （本小題共13分）已知函數(shù)

（Ⅰ）求函數(shù)的定義域；   （Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最值。

解：（Ⅰ）由題意                  

所求定義域為  {}                             …………4分

（Ⅱ）

                           …………9分

由   知   ，

所以當時，取得最大值為；                   …………11分

當時，取得最小值為0 。                   …………13分

16.（本小題共13分）已知數(shù)列中，，當時，函數(shù)取得極值。（Ⅰ）求數(shù)列的通項；（Ⅱ）在數(shù)列中，，，求的值

解：（Ⅰ）     由題意    得    ，   …………6分

又  所以 數(shù)列是公比為的等比數(shù)列  所以   …………8分

（Ⅱ） 因為   ，                 …………10分

所以    ，，，……，

疊加得           把代入得   =       …………13分

17. （本小題共14分）

如圖，在正三棱柱中，,是的中點，點在上，。

（Ⅰ）求所成角的正弦值；                

（Ⅱ）證明；(Ⅲ) 求二面角的大小.

解：（Ⅰ）在正三棱柱中，   

，又是正△ABC邊的中點，

，         

∠為所成角

又     sin∠=                          …………5分

（Ⅱ）證明:  依題意得   ，，

 因為    由（Ⅰ）知， 而，

所以              所以                     …………9分

(Ⅲ) 過C作于，作于，連接

  ，   …………11分  

又      是所求二面角的平面角

，      

二面角的大小為                                …………14分

18. （本小題共13分）

某校高二年級開設《幾何證明選講》及《坐標系與參數(shù)方程》兩個模塊的選修科目。每名學生可以選擇參加一門選修，參加兩門選修或不參加選修。已知有60%的學生參加過《幾何證明選講》的選修，有75%的學生參加過《坐標系與參數(shù)方程》的選修，假設每個人對選修科目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響。

(Ⅰ)任選一名學生，求該生參加過模塊選修的概率；

(Ⅱ)任選3名學生，記為3人中參加過模塊選修的人數(shù)，求的分布列和期望。

解：(Ⅰ)設該生參加過《幾何證明選講》的選修為事件A，

參加過《坐標系與參數(shù)方程》的選修為事件B， 該生參加過模塊選修的概率為P，

則

則 該生參加過模塊選修的概率為0.9                                 …………6分

（另：）

(Ⅱ) 可能取值0，1，2，3

    =0.001，=0.027

=0.243，   =0.729             …………10分

0

1

2

3

0.001

0.027

0.243

0.729

的分布列為

                                            …………13分

19. （本小題共13分）

           已知分別為橢圓的左、右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于直線，垂足為，線段的垂直平分線交于點M。(Ⅰ)求動點M的軌跡的方程；(Ⅱ)過點作直線交曲線于兩個不同的點P和Q，設＝，若∈[2，3]，求的取值范圍。

解：(Ⅰ)設M，則，由中垂線的性質知

||=     化簡得的方程為                …………3分

（另：由知曲線是以x軸為對稱軸，以為焦點，以為準線的拋物線

    所以  ，         則動點M的軌跡的方程為）

(Ⅱ)設，由＝  知        ①

又由在曲線上知  ②

由  ①  ②       解得    所以 有           …………8分

===     …………10分

設    有 在區(qū)間上是增函數(shù)，

得，進而有 ，所以的取值范圍是 ……13分

20. （本小題共14分）

     函 數(shù)  是 定 義 在R上 的 偶 函 數(shù)，且時，

，記函數(shù)的圖像在處的切線為，。

(Ⅰ) 求在上的解析式；

(Ⅱ) 點列在上，

依次為x軸上的點，

如圖，當時，點構成以為底邊

的等腰三角形。若，求數(shù)列的通項公式；

(Ⅲ)在 (Ⅱ)的條件下，是否存在實數(shù)a使得數(shù)列是等差數(shù)列？如果存在，寫出的一個值；如果不存在，請說明理由。

解：(Ⅰ) 函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且

；是周期為2的函數(shù)         …………1分

由 可知=-4       ，             …………4分

(Ⅱ) 函數(shù)的圖像在處的切線為，且，

切線過點且斜率為1，切線的方程為y=x+1                …………6分

在上，有        即

點構成以為底邊的等腰三角形… ①

同理… ②     兩式相減 得          

                                   …………11分

(Ⅲ) 假設是等差數(shù)列 ，則                  …………14分

故存在實數(shù)a使得數(shù)列是等差數(shù)列