(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最值. 得 分評卷人 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)，若對任意，，不等式 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【解析】第一問利用的定義域是     

由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（1,3）；單調(diào)遞減區(qū)間是

第二問中，若對任意不等式恒成立，問題等價(jià)于只需研究最值即可。

解： （I）的定義域是     ．．．．．．1分

              ．．．．．．．．．．．．． 2分

由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（1,3）；單調(diào)遞減區(qū)間是     ．．．．．．．．4分

（II）若對任意不等式恒成立，

問題等價(jià)于，                   ．．．．．．．．．5分

由（I）可知，在上，x=1是函數(shù)極小值點(diǎn)，這個(gè)極小值是唯一的極值點(diǎn)，

故也是最小值點(diǎn)，所以；            ．．．．．．．．．．．．6分

當(dāng)b<1時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)b>2時(shí)，；             ．．．．．．．．．．．．8分

問題等價(jià)于 ．．．．．．．．11分

解得b<1 或 或    即，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是 

 

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已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若函數(shù)依次在處取到極值.求的取值范圍；

（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)，使對任意的，不等式 恒成立.求正整數(shù)的最大值.

【解析】第一問中利用導(dǎo)數(shù)在在處取到極值點(diǎn)可知導(dǎo)數(shù)為零可以解得方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根來分析求解。

第二問中，利用存在實(shí)數(shù)，使對任意的，不等式 恒成立轉(zhuǎn)化為，恒成立，分離參數(shù)法求解得到范圍。

解：（1）

①

（2）不等式 ，即，即.

轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)，使對任意的，不等式恒成立.

即不等式在上恒成立.

即不等式在上恒成立.

設(shè)，則.

設(shè)，則，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911530204634527/SYS201207091153477963415106_ST.files/image016.png">，有.

故在區(qū)間上是減函數(shù)。又

故存在，使得.

當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有.

從而在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.

又[來源:]

所以當(dāng)時(shí)，恒有；當(dāng)時(shí)，恒有；

故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5

 

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（本小題滿分14分）
設(shè)函數(shù)定義在上，，導(dǎo)函數(shù)
（Ⅰ）求 的單調(diào)區(qū)間的最小值；（Ⅱ）討論 與 的大小關(guān)系；（Ⅲ）是否存在，使得 對任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在請說明理由。

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已知函數(shù)，．

（Ⅰ）若函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上均為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若方程有唯一解，求實(shí)數(shù)的值．

【解析】第一問，   

當(dāng)0<x<2時(shí)，，當(dāng)x>2時(shí)，，

要使在(a,a+1)上遞增，必須

如使在(a,a+1)上遞增，必須，即

由上得出，當(dāng)時(shí)，在上均為增函數(shù)

（Ⅱ）中方程有唯一解有唯一解

設(shè)  （x>0）

隨x變化如下表

x

-

+

極小值

由于在上，只有一個(gè)極小值，的最小值為-24-16ln2，

當(dāng)m=-24-16ln2時(shí)，方程有唯一解得到結(jié)論。

（Ⅰ）解： 

當(dāng)0<x<2時(shí)，，當(dāng)x>2時(shí)，，

要使在(a,a+1)上遞增，必須

如使在(a,a+1)上遞增，必須，即

由上得出，當(dāng)時(shí)，在上均為增函數(shù)  ……………6分

（Ⅱ）方程有唯一解有唯一解

設(shè)  （x>0）

隨x變化如下表

x

-

+

極小值

由于在上，只有一個(gè)極小值，的最小值為-24-16ln2，

當(dāng)m=-24-16ln2時(shí)，方程有唯一解

 

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（本題滿分14分）

   已知函數(shù)。

   （1）求的最大值及取得最大值時(shí)的的值；

   （2）求在上的單調(diào)增區(qū)間。

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一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分。

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

A

B

D

C

D

C

D

二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分

9．    10. 60   11.    12.    13. 2    14. -2；1

三、解答題： 本大題共6個(gè)小題，共80分。

15. （本小題共13分）

已知函數(shù)

（Ⅰ）求函數(shù)的定義域；

（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最值。

解：（Ⅰ）由題意                 

所求定義域?yàn)?nbsp; {}                            …………4分

（Ⅱ）

                           …………9分

由   知   ，

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為；                   …………11分

當(dāng)時(shí)，取得最小值為0 。                   …………13分

16. （本小題共13分）

已知數(shù)列中，，點(diǎn)（1，0）在函數(shù)的圖像上。

（Ⅰ）求數(shù)列 的通項(xiàng)；

（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。      

解：(Ⅰ)由已知        又         …………3分

 所以 數(shù)列是公比為的等比數(shù)列      所以        …………6分

     （Ⅱ） 由                                …………9分

      所以                …………13分

17. （本小題共14分）

如圖，在正三棱柱中，,是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，。

（Ⅰ）求所成角的大��；        

（Ⅱ）求二面角的正切值；

(Ⅲ) 證明.

解：（Ⅰ）在正三棱柱中，  

又  是正△ABC邊的中點(diǎn)，

                               …………3分

∠為所成角

又     sin∠=                      …………5分

所以所成角為（）

（Ⅱ） 由已知得 

   ∠為二面角的平面角，     所以     …………9分

(Ⅲ)證明:  依題意  得   ，，

因?yàn)?nbsp;                       …………11分

又由（Ⅰ）中    知，且，

                                      …………14分

18. （本小題共13分）

某校高二年級開設(shè)《幾何證明選講》及《數(shù)學(xué)史》兩個(gè)模塊的選修科目。每名學(xué)生至多選修一個(gè)模塊，的學(xué)生選修過《幾何證明選講》，的學(xué)生選修過《數(shù)學(xué)史》，假設(shè)各人的選擇相互之間沒有影響。

(Ⅰ)任選1名學(xué)生，求該生沒有選修過任何一個(gè)模塊的概率；

(Ⅱ)任選4名學(xué)生，求至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率。

解：(Ⅰ)設(shè)該生參加過《幾何證明選講》的選修為事件A，

參加過《數(shù)學(xué)史》的選修為事件B， 該生沒有選修過任何一個(gè)模塊的概率為P，

則

所以 該生沒有選修過任何一個(gè)模塊的概率為                     …………6分

(Ⅱ)至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率為

       

  所以至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率為               …………13分

19. （本小題共13分）

已知函數(shù)的圖像如圖所示。

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)若函數(shù)在處的切線方程為，求函數(shù)的        

解析式；

（Ⅲ）若=5，方程有三個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

  解： 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為  

(Ⅰ)由圖可知  函數(shù)的圖像過點(diǎn)（0，3），且

  得                         …………3分

(Ⅱ)依題意  且

         解得  

   所以                                 …………8分

（Ⅲ）依題意

          由                                       ①

    若方程有三個(gè)不同的根，當(dāng)且僅當(dāng) 滿足        ②

  由 ① ②  得   

   所以 當(dāng)  時(shí) ，方程有三個(gè)不同的根。     …………13分

20. （本小題共14分）

       已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長軸，動(dòng)直線垂直于直線，垂足為，線段的垂直平分線交于點(diǎn)M。

(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的方程；

(Ⅱ)過點(diǎn)作直線交曲線于兩個(gè)不同的點(diǎn)P和Q，設(shè)＝，若∈[2，3]，求的取值范圍。

解：(Ⅰ)設(shè)M，則，由中垂線的性質(zhì)知

||=     化簡得的方程為                  …………3分

（另：由知曲線是以x軸為對稱軸，以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線

    所以  ，         則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的方程為）

(Ⅱ)設(shè)，由＝  知        ①

又由 在曲線上知                   ②

由  ①  ②       解得    所以 有          …………8分

 ===  …………10分

設(shè) ，∈[2，3]， 有 在區(qū)間上是增函數(shù)，

得       進(jìn)而有      

所以    的取值范圍是                             …………14

 


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