(理)設(shè)函數(shù)f(x)=1+9x6tlnx，在x=a，x=b處分別取得極大值和極小值，連接函數(shù)圖像上A(a，f(a))，B(b，f(b))兩點(diǎn)．

(1)求實(shí)數(shù)t的取值范圍；

(2)是否存在實(shí)數(shù)t，使得線段AB(包括兩端點(diǎn))與直線x=1相交?若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(文)已知函數(shù)f(x)=mx3-x的圖像上，以N(1，n)為切點(diǎn)的切線的傾斜角為．

(1)求m，n的值；

(2)是否存在最小的正整數(shù)k，使得不等式f(x)≤k-1991對(duì)于x∈[-1，3]恒成?如果存在，請(qǐng)求出最小的正整數(shù)k；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

(3)求證：|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)(x∈R，t＞0)．

設(shè)，等差數(shù)列中，，記=，令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.

（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式和；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）是否存在正整數(shù)，且，使得成等比數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由.

（理）已知函數(shù)f（x）=x²+aln（x+1）．
（1）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）證明：a=1時(shí)，對(duì)于任意的x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁≠x₂，都有；
（3）是否存在最小的正整數(shù)N，使得當(dāng)n≥N時(shí)，不等式恒成立．