在邊長(zhǎng)為的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，M、N分別為AB、CF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點(diǎn)重合，構(gòu)成一個(gè)三棱錐．

（I）判別MN與平面AEF的位置關(guān)系，并給出證明；

（II）求多面體E-AFMN的體積．

【解析】第一問因翻折后B、C、D重合（如下圖），所以MN應(yīng)是的一條中位線，則利用線線平行得到線面平行。

第二問因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912273087455588/SYS201207091227575151928240_ST.files/image005.png">平面BEF，……………8分

且，

∴，又　∴

（1）因翻折后B、C、D重合（如圖），

所以MN應(yīng)是的一條中位線，………………3分

則．………6分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912273087455588/SYS201207091227575151928240_ST.files/image005.png">平面BEF，……………8分

且，

∴，………………………………………10分

又　∴

如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓周上的一點(diǎn)．

（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；(6分)

（2）若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C­PB­A的余弦值．（6分）

（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分其中①6分、②2分。

設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過且垂直于軸的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，已知.

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)，過點(diǎn)作方向向量為的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，求使為鈍角時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）①對(duì)給定的定點(diǎn)，過作直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，問是否存在一條垂直于軸的直線與以線段為直徑的圓始終相切？若存在，請(qǐng)求出這條直線；若不存在，請(qǐng)說明理由。

②對(duì)，過作直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，問是否存在一條垂直于軸的直線與以線段為直徑的圓始終相切？（只要求寫出結(jié)論，不需用證明）

如圖，在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，為棱上一點(diǎn)，且平面平面.

（Ⅰ）求證：點(diǎn)為棱的中點(diǎn)；

（Ⅱ）判斷四棱錐和的體積是否相等，并證明。

【解析】本試題主要考查了立體幾何中的體積問題的運(yùn)用。第一問中，

易知，面。由此知：從而有又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)為棱的中點(diǎn).

（2）中由A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD，D為BB₁中點(diǎn)，可以得證。

（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連。面面且相交于，面內(nèi)的直線，面。……3分

又面面且相交于，且為等腰三角形，易知，面。由此知：，從而有共面，又易知面，故有從而有又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)為棱的中點(diǎn).               …6分

（2）相等．ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴BB₁⊥A₁B₁，BB₁⊥BC，又A₁B₁⊥B₁C₁，BC⊥AB，

∴A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD（9分）∴V_A1-B1C1CD=1 /3 S_B1C1CD•A₁B₁=1/ 3 ×1 2 (B₁D+CC₁)×B₁C₁×A₁B₁VC-A₁ABD=1 /3 S_A1ABD•BC=1 /3 ×1 2 (BD+AA₁)×AB×BC∵D為BB₁中點(diǎn)，∴V_A1-B1C1CD=V_C-A1ABD

如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓周上的一點(diǎn)．

（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；(6分)

（2）若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C­PB­A的余弦值．（6分）