已知中心在原點O，焦點F₁、F₂在x軸上的橢圓E經過點C（2，2），且拋物線的焦點為F₁.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點，當以AB為直徑的圓P與y軸相切時，求直線l的方程和圓P的方程.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關系的運用。第一問中，設出橢圓的方程，然后結合拋物線的焦點坐標得到，又因為，這樣可知得到。第二問中設直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯(lián)立方程組可以得到

，再利用可以結合韋達定理求解得到m的值和圓p的方程。

解：(Ⅰ)設橢圓E的方程為

①………………………………1分

  ②………………２分

  ③       由①、②、③得a²=12,b²=6…………3分

所以橢圓E的方程為…………………………4分

(Ⅱ)依題意，直線OC斜率為1，由此設直線l的方程為y=-x+m，……………5分

 代入橢圓E方程，得…………………………6分

………………………7分

、………………8分

………………………9分

……………………………10分

    當m=3時，直線l方程為y=-x+3，此時，x₁ +x₂=4，圓心為（2，1），半徑為2，

圓P的方程為（x-2）²+(y-1)²=4；………………………………11分

同理，當m=－3時，直線l方程為y=-x－3，

圓P的方程為（x+2）²+(y+1)²=4

 

（1）若橢圓的方程是：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），它的左、右焦點依次為F₁、F₂，P是橢圓上異于長軸端點的任意一點．在此條件下我們可以提出這樣一個問題：“設△PF₁F₂的過P角的外角平分線為l，自焦點F₂引l的垂線，垂足為Q，試求Q點的軌跡方程？”
對該問題某同學給出了一個正確的求解，但部分解答過程因作業(yè)本受潮模糊了，我們在

這些模糊地方劃了線，請你將它補充完整．
解：延長F₂Q 交F₁P的延長線于E，據(jù)題意，
E與F₂關于l對稱，所以|PE|=|PF₂|．
所以|EF₁|=|PF₁|+|PE|=|PF₁|+|PF₂|=，
在△EF₁F₂中，顯然OQ是平行于EF₁的中位線，
所以|OQ|=

1

2

|EF₁|=，
注意到P是橢圓上異于長軸端點的點，所以Q點的軌跡是，
其方程是：．
（2）如圖2，雙曲線的方程是：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），它的左、右焦點依次為F₁、F₂，P是雙曲線上異于實軸端點的任意一點．請你試著提出與（1）類似的問題，并加以證明．

設橢圓的左、右頂點分別為，點在橢圓上且異于兩點，為坐標原點.

（Ⅰ）若直線與的斜率之積為，求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若，證明直線的斜率 滿足

【解析】(1)解：設點P的坐標為.由題意，有  ①

由，得，

由，可得，代入①并整理得

由于，故.于是，所以橢圓的離心率

（2）證明：（方法一）

依題意，直線OP的方程為，設點P的坐標為.

由條件得消去并整理得  ②

由，及，

得.

整理得.而，于是，代入②，

整理得

由，故，因此.

所以.

(方法二)

依題意，直線OP的方程為，設點P的坐標為.

由P在橢圓上，有

因為，，所以，即   ③

由，，得整理得.

于是，代入③，

整理得

解得，

所以.