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即與比較可得【查看更多】

已知，（其中）

⑴求及；

⑵試比較與的大小，并說明理由．

【解析】第一問中取，則； …………1分

對等式兩邊求導，得

取，則得到結論

第二問中，要比較與的大小，即比較：與的大小，歸納猜想可得結論當時，；

當時，；

猜想：當時，運用數學歸納法證明即可。

解：⑴取，則； …………1分

對等式兩邊求導，得，

取，則。 …………4分

⑵要比較與的大小，即比較：與的大小，

當時，；

當時，； …………6分

猜想：當時，，下面用數學歸納法證明：

由上述過程可知，時結論成立，

假設當時結論成立，即，

當時,

而

∴

即時結論也成立，

∴當時，成立。 …………11分

綜上得，當時，；

當時，；

當時，

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班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從全班25位女同學，15位男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析．
（1）如果按性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本（只要求寫出算式即可，不必計算出結果）；
（2）隨機抽取8位同學，
數學分數依次為：60，65，70，75，80，85，90，95；
物理成績依次為：72，77，80，84，88，90，93，95，
①若規(guī)定90分（含90分）以上為優(yōu)秀，記ξ為這8位同學中數學和物理分數均為優(yōu)秀的人數，求ξ的分布列和數學期望；
②若這8位同學的數學、物理分數事實上對應下表：

學生編號	1	2	3	4	5	6	7	8
數學分數x	60	65	70	75	80	85	90	95
物理分數y	72	77	80	84	88	90	93	95

根據上表數據可知，變量y與x之間具有較強的線性相關關系，求出y與x的線性回歸方程（系數精確到0.01）．（參考公式：

y

=bx+a，其中b=

n

i=1

(xi-

.

x

)(yi-

.

y

)

n

i=1

(xi-

.

x

)2

，a=

.

y

-b

.

x

；參考數據：

.

x

=77.5，

.

y

=84.875，

8

i=1

(xi-

.

x

)2≈1050，

8

i=1

(xi-

.

x

)(yi-

.

y

)≈688，

1050

≈32.4，

457

≈21.4，

550

≈23.5）

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(本題滿分12分)班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從全班位女同學，位男同學中隨機抽取一個容量為的樣本進行分析。
（Ⅰ）如果按性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本（只要求寫出算式即可，不必計算出結果）；
（Ⅱ）隨機抽取位同學，數學成績由低到高依次為：；
物理成績由低到高依次為：，若規(guī)定分（含分）以上為優(yōu)秀，記為這位同學中數學和物理分數均為優(yōu)秀的人數，求的分布列和數學期望；
（Ⅲ）若這位同學的數學、物理分數事實上對應下表：